Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）交x軸于A（-1，0）、B（5，0）兩點，交y軸負半軸于點C，點D為拋物線的頂點．
（1）如圖1，若點C的坐標為（0，-$\frac{20}{9}$），求此拋物線的解析式；
（2）如圖2，在（1）的條件下，點P在拋物線的對稱軸上，設(shè)⊙P的半徑為r，當⊙P與x軸和直線BD都相切時，求圓心P的坐標；
（3）如圖3，若△ABC是等腰三角形，求點C的坐標；
（4）如圖4，若點C在y軸的負半軸上移動，則△ACD與△ABC的面積之比是否為定值？若是定值，請求出其值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線與x軸的交點可設(shè)拋物線的交點式，將點C坐標代入可得；
（2）先求出直線BD的解析式，由⊙P與x軸和直線BD都相切知點P到兩直線距離相等，列出方程可求得；
（3）若△ABC是等腰三角形時有AB=AC、BA=BC兩種情況，根據(jù)勾股定理可分別求出OC的長度即可；
（4）可將A、B坐標代入拋物線的解析式中，求出a、b，a、c的關(guān)系，然后將拋物線解析式中的b、c用a替換掉，進而可用a表示出C、D的坐標，然后分別求出三角形ACB和三角形ACD的面積即可．

解答 解：（1）∵拋物線交x軸于A（-1，0）、B（5，0）兩點，
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-5），
將C（0，-$\frac{20}{9}$）代入，得a=$\frac{4}{9}$，
故y=$\frac{4}{9}$（x+1）（x-5）；
（2）由（1）知y=$\frac{4}{9}$（x+1）（x-5）=$\frac{4}{9}$（x-2）²-4，
故頂點D的坐標為（2，-4），
設(shè)BD所在直線的解析式為：y=kx+b，
將B（5，0），D（2，-4）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
故BD所在直線解析式為：y=$\frac{4}{3}x-\frac{20}{3}$，
由點P在拋物線的對稱軸上，可設(shè)點P坐標為：（2，m），
∵⊙P與x軸和直線BD都相切，
∴點P到x軸的距離等于點P到直線BD的距離，
即：|m|=$\frac{|\frac{8}{3}-m-\frac{20}{3}|}{\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+{1}^{2}}}$，
解得：m=-$\frac{3}{2}$或m=6，
故點P的坐標為（2，-$\frac{3}{2}$）或（2，6）；
（3）若△ABC是等腰三角形時，
①若AB=AC，∵A（-1，0）、B（5，0），
∴OA=1，AC=AB=6，
在RT△AOC中，OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{35}$，
故C點坐標為（0，-$\sqrt{35}$）；
②若BA=BC，則BC=6，BO=5，
在RT△BOC中，OC=$\sqrt{B{C}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
故點C的坐標為（0，-$\sqrt{11}$）；
③CA=CB不符合題意；
綜上，若△ABC是等腰三角形時，點C的坐標為（0，-$\sqrt{35}$）或（0，-$\sqrt{11}$）；
（4）△ACD與△ABC的面積之比為定值，
將A（-1，0）、B（5，0）兩點坐標代入拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{25a+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4a}\\{c=-5a}\end{array}\right.$，
故y=ax²-4ax-5a=a（x-2）²-9a，
則C點坐標為（0，-5a），D（2，-9a），
如圖：

∵S_△ABC=$\frac{1}{2}×6×5a$=15a，
S_△ACD=（5a+9a）×2×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}×1×5a$-$\frac{1}{2}×3×9a$=3a，
∴$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△ABC}}=\frac{3a}{15a}=\frac{1}{5}$，
故△ACD與△ABC的面積之比為定值，定值為$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圓的切線性質(zhì)、等腰三角形、圖形面積的求法等知識點，熟悉一些幾何基本性質(zhì)和做法是關(guān)鍵．