【題目】如圖①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點E在AC上(且不與點A,C重合),在△ABC的外部作△CED,使∠CED=90°,DE=CE,連接AD,分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.

(1)請直接寫出線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系;
(2)將△CED繞點C逆時針旋轉(zhuǎn),當點E在線段BC上時,如圖②,連接AE,請判斷線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)在圖②的基礎(chǔ)上,將△CED繞點C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn),請判斷(2)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化?若不變,結(jié)合圖③寫出證明過程;若變化,請說明理由.

【答案】
(1)AF= AE
(2)

解:如圖②中,結(jié)論:AF= AE.

理由:連接EF,DF交BC于K.

∵四邊形ABFD是平行四邊形,

∴AB∥DF,

∴∠DKE=∠ABC=45°,

∴EKF=180°﹣∠DKE=135°,

∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°,

∴∠EKF=∠ADE,

∵∠DKC=∠C,

∴DK=DC,

∵DF=AB=AC,

∴KF=AD,

在△EKF和△EDA中,

,

∴△EKF≌△EDA,

∴EF=EA,∠KEF=∠AED,

∴∠FEA=∠BED=90°,

∴△AEF是等腰直角三角形,

∴AF= AE


(3)

解:如圖③中,結(jié)論不變,AF= AE.

理由:連接EF,延長FD交AC于K.

∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC,

∠ACE=(90°﹣∠KDC)+∠DCE=135°﹣∠KDC,

∴∠EDF=∠ACE,

∵DF=AB,AB=AC,

∴DF=AC

在△EDF和△ECA中,

∴△EDF≌△ECA,

∴EF=EA,∠FED=∠AEC,

∴∠FEA=∠DEC=90°,

∴△AEF是等腰直角三角形,

∴AF= AE


【解析】解:(1)如圖①中,結(jié)論:AF= AE.

理由:∵四邊形ABFD是平行四邊形,
∴AB=DF,
∵AB=AC,
∴AC=DF,
∵DE=EC,
∴AE=EF,
∵∠DEC=∠AEF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF= AE.
故答案為AF= AE.
(1)如圖①中,結(jié)論:AF= AE,只要證明△AEF是等腰直角三角形即可.(2)如圖②中,結(jié)論:AF= AE,連接EF,DF交BC于K,先證明△EKF≌△EDA再證明△AEF是等腰直角三角形即可.(3)如圖③中,結(jié)論不變,AF= AE,連接EF,延長FD交AC于K,先證明△EDF≌△ECA,再證明△AEF是等腰直角三角形即可.本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì),尋找全等的條件是解題的難點,屬于中考常考題型.

練習冊系列答案
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