【題目】如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(﹣1,0),B(0,﹣ ),C(2,0),其對稱軸與x軸交于點D
(1)求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標;
(2)若P為y軸上的一個動點,連接PD,則 PB+PD的最小值為;
(3)M(x,t)為拋物線對稱軸上一動點
①若平面內(nèi)存在點N,使得以A,B,M,N為頂點的四邊形為菱形,則這樣的點N共有 個;
②連接MA,MB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范圍.
【答案】
(1)
解:由題意 解得 ,
∴拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣ ,
∵y= x2﹣ x﹣ = (x﹣ )2﹣ ,
∴頂點坐標( ,﹣ )
(2)
(3)
① 5
②解:如圖,RT△AOB中,∵tan∠ABO= = ,
∴∠ABO=30°,
作AB的中垂線與y軸交于點E,連接EA,則∠AEB=120°,
以E為圓心,EB為半徑作圓,與拋物線對稱軸交于點F、G.
則∠AFB=∠AGB=60°,從而線段FG上的點滿足題意,
∵EB= = ,
∴OE=OB﹣EB= ,
∵F( ,t),EF2=EB2,
∴( )2+(t+ )2=( )2,
解得t= 或 ,
故F( , ),G( , ),
∴t的取值范圍 ≤t≤
【解析】【解析】解:(2)如圖1中,連接AB,作DH⊥AB于H,交OB于P,
此時 PB+PD最。
理由:∵OA=1,OB= ,
∴tan∠ABO= = ,
∴∠ABO=30°,
∴PH= PB,
∴ PB+OD=PH+PD=DH,
∴此時 PB+PD最短(垂線段最短).
在RT△ADH中,∵∠AHD=90°,AD= ,∠HAD=60°,
∴sin60°= ,
∴DH= ,
∴ PB+PD的最小值為 .
所以答案是 .
(3)①以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點,
以B為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸也有兩個交點,
線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點,
所以滿足條件的點M有5個,即滿足條件的點N也有5個,
所以答案是5.
(1)利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程組解決問題.(2)如圖1中,連接AB,作DH⊥AB于H,交OB于P,此時 PB+PD最小.最小值就是線段DH,求出DH即可.(3)①先在對稱軸上尋找滿足△ABM是等腰三角形的點M,由此即可解決問題.②作AB的中垂線與y軸交于點E,連接EA,則∠AEB=120°,以E為圓心,EB為半徑作圓,與拋物線對稱軸交于點F、G.則∠AFB=∠AGB=60°,從而線段FG上的點滿足題意,求出F、G的坐標即可解決問題.本題考查二次函數(shù)綜合題、銳角三角函數(shù)、最短問題、圓等知識,解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,學會利用垂線段最短解決實際問題中的最短問題,學會添加輔助線,構(gòu)造圓解決角度問題,屬于中考壓軸題.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用垂線段最短和銳角三角函數(shù)的增減性的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短;現(xiàn)實生活中開溝引水,牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應用;當角度在0°~90°之間變化時:(1)正弦值隨著角度的增大(或減。┒龃螅ɑ驕p。2)余弦值隨著角度的增大(或減。┒鴾p。ɑ蛟龃螅3)正切值隨著角度的增大(或減。┒龃螅ɑ驕p。4)余切值隨著角度的增大(或減。┒鴾p小(或增大).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,線段AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,∠CAB=40°,則∠ABD與∠AOD分別等于( )
A.40°,80°
B.50°,100°
C.50°,80°
D.40°,100°
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點E在AC上(且不與點A,C重合),在△ABC的外部作△CED,使∠CED=90°,DE=CE,連接AD,分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.
(1)請直接寫出線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系;
(2)將△CED繞點C逆時針旋轉(zhuǎn),當點E在線段BC上時,如圖②,連接AE,請判斷線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)在圖②的基礎(chǔ)上,將△CED繞點C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn),請判斷(2)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化?若不變,結(jié)合圖③寫出證明過程;若變化,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于點E,點F在AC上,且BD=DF.
(1)求證:CF=EB;
(2)請你判斷AE、AF與BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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【題目】如圖,為了測出旗桿AB的高度,在旗桿前的平地上選擇一點C,測得旗桿頂部A的仰角為45°,在C、B之間選擇一點D(C、D、B三點共線),測得旗桿頂部A的仰角為75°,且CD=8m
(1)求點D到CA的距離;
(2)求旗桿AB的高.
(注:結(jié)果保留根號)
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【題目】如圖,以直角三角形a、b、c為邊,向外作等邊三角形,半圓,等腰直角三角形和正方形,上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2=S3圖形個數(shù)有( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】已知,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.動點P從點A出發(fā)沿A—B—C的方向以每秒2個單位的速度運動.設(shè)P的運動時間為t(秒).
(1)請直接用含t的代數(shù)式表示①當點P在AB上時,BP= ;②當點P在BC上時,BP= ;
(2)求△BPC為等腰三角形的t值.
(備用圖)
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【題目】某新農(nóng)村樂園設(shè)置了一個秋千場所,如圖所,秋千拉繩OB的長為3m,靜止時,踏板到地面距離BD的長為0.6m(踏板厚度忽略不計).為安全起見,樂園管理處規(guī)定:兒童的“安全高度”為hm,成人的“安全高度”為2m(計算結(jié)果精確到0.1m)
(1)當擺繩OA與OB成45°夾角時,恰為兒童的安全高度,則h= 1.5 m
(2)某成人在玩秋千時,擺繩OC與OB的最大夾角為55°,問此人是否安全?(參考數(shù)據(jù): ≈1.41,sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我州某養(yǎng)殖場計劃購買甲、乙兩種魚苗600條,甲種魚苗每條16元,乙種魚苗每條20元,相關(guān)資料表明:甲、乙兩種魚苗的成活率為80%,90%
(1)若購買這兩種魚苗共用去11000元,則甲、乙兩種魚苗各購買多少條?
(2)若要使這批魚苗的總成活率不低于85%,則乙種魚苗至少購買多少條?
(3)在(2)的條件下,應如何選購魚苗,使購買魚苗的總費用最低?最低費用是多少?
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