【題目】四邊形的一條對角線將這個四邊形分成兩個三角形,如果這兩個三角形相似(不全等),那么我們將這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線.

1)如圖1,四邊形中,,,對角線平分,求證:是四邊形的相似對角線;

2)如圖2,直線分別與軸相交于,兩點,為反比例函數(shù))上的點,若是四邊形的相似對角線,求反比例函數(shù)的解析式;

3)如圖3,是四邊形的相似對角線,點的坐標為,軸,,連接,的面積為.過兩點的拋物線)與軸交于,兩點,記,若直線與拋物線恰好有3個交點,求實數(shù)的值.

【答案】1)詳見解析;(2;(3

【解析】

1)設,則,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠BAC=DAC=50°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得,最后根據(jù)相似三角形的判定定理可證是四邊形的相似對角線;

2)根據(jù)一次函數(shù)即可求出點A、B的坐標,再根據(jù)銳角三角函數(shù)值即可求出,,然后根據(jù)相似對角線的定義和相似三角形對應角的情況分類討論,分別利用銳角三角函數(shù)求出點P的坐標,即可求出反比例函數(shù)的解析式;

3)根據(jù)銳角三角函數(shù)和面積公式可得,然后根據(jù)相似對角線的定義即可求出AC,從而求出兩個m的值和兩條直線的解析式,根據(jù)圖形可知,一定與拋物線有兩個交點,故與拋物線有且僅有一個交點,然后聯(lián)立方程令一元二次方程的△=0即可求出a的值.

1)證明:如圖1,設,則

,平分

∴∠BAC=DAC=

,

是四邊形的相似對角線.

2)如圖2,可求得直線與兩坐標軸的交點分別為,

OA=4,OB=

RtAOB中,

,

是四邊形的相似對角線時,有如下情況:

當∠APO=AOB=90°時,過點PPQx軸于Q,如下圖所示,此時又分以下兩種情況

i)當

RtOAP中,OP=OA·cosAOP=2

RtOPQ中,OQ=OP·cosAOP=1,PQ= OP·sinAOP=

∴此時點,將點坐標代入,得

∴該反比例函數(shù)的解析式為;

ii,

RtOAP中,OP=OA·cosAOP=2

RtOPQ中,OQ=OP·cosAOP=3,PQ= OP·sinAOP=

∴此時點,將點坐標代入,得

∴該反比例函數(shù)的解析式為

②當∠OAP=AOB=90°時,此時又分以下兩種情況

i)當∠AOP=OAB=30°時,如下圖所示,

OA=AO,∠OAP=AOB=90°

∴△OAPAOB,不符合相似對角線的定義,故舍去;

ii)當時,如下圖所示,

RtOAP中,AP=OA·tanAOP=

∴此時點,將點坐標代入,得

該反比例函數(shù)的解析式為;

③當∠AOP=AOB=90°時,此時點Py軸上,故不存在反比例函數(shù)圖象,故舍去.

綜上所述:反比例函數(shù)的解析式為

3)如圖3,作的底邊邊上的高,則

中,由勾股定理可求得,

,即

是四邊形的相似對角線

,由CA=CA可得,不符合相似對角線的定義,故舍去,

,

,即

由點的坐標為可知,點的坐標為,

兩點的坐標代入拋物線,得

解得,

所以拋物線的解析式可化為

,得直線的解析為,

∵直線與拋物線的交點必有兩個

∴直線與該拋物線的交點有且只有一個

∴方程組有且只有一組解

即關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根.

,

解得

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