【題目】如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E為AB的中點(diǎn),
(1)求證:AC2=ABAD.
(2)求證:CE∥AD;
(3)若AD=4,AB=6,求AF的值.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析;(3)AF=.
【解析】
(1)先根據(jù)角平分線(xiàn)得出∠CAD=∠CAB,進(jìn)而判斷出△ADC∽△ACB,即可得出結(jié)論;
(2)先利用直角三角形的性質(zhì)得出CE=AE,進(jìn)而得出∠ACE=∠CAE,從而∠CAD=∠ACE,即可得出結(jié)論;
(3)由(1)的結(jié)論求出AC,再求出CE=3,最后由(2)的結(jié)論得出△CFE∽△AFD,即可得出結(jié)論.
解:(1)∵AC平分∠BAD,
∴∠CAD=∠CAB,
∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,
∴,
∴AC2=ADAB;
(2)在Rt△ABC中,∵E為AB的中點(diǎn),
∴CE=AE(直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半),
∴∠ACE=∠CAE,
∵AC平分∠BAD,
∴∠CAD=∠CAE,
∴∠CAD=∠ACE,
∴CE∥AE;
(3)由(1)知,AC2=ADAB,
∵AD=4,AB=6,
∴AC2=4×6=24,
∴AC=2,
在Rt△ABC中,∵E為AB的中點(diǎn),
∴CE=AB=3,
由(2)知,CE∥AD,
∴△CFE∽△AFD,
∴,
∴,
∴AF=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)將這個(gè)四邊形分成兩個(gè)三角形,如果這兩個(gè)三角形相似(不全等),那么我們將這條對(duì)角線(xiàn)叫做這個(gè)四邊形的相似對(duì)角線(xiàn).
(1)如圖1,四邊形中,,,對(duì)角線(xiàn)平分,求證:是四邊形的相似對(duì)角線(xiàn);
(2)如圖2,直線(xiàn)分別與,軸相交于,兩點(diǎn),為反比例函數(shù)()上的點(diǎn),若是四邊形的相似對(duì)角線(xiàn),求反比例函數(shù)的解析式;
(3)如圖3,是四邊形的相似對(duì)角線(xiàn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,軸,,連接,的面積為.過(guò),兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)()與軸交于,兩點(diǎn),記,若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)恰好有3個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在由邊長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中,已知點(diǎn),,,均為網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn).
(1)在網(wǎng)格中將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形;
(2)在網(wǎng)格中將放大倍得到,使與為對(duì)應(yīng)點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)D在AB邊上,CD與OB交于點(diǎn)E,∠ACD=∠OBC;
(1)如圖1,求證:CD⊥AB;
(2)如圖2,當(dāng)∠BAC=∠OBC+∠BCD時(shí),求證:BO平分∠ABC;
(3)如圖3,在(2)的條件下,作OF⊥BC于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G,作OH⊥CD于點(diǎn)H,連接FH并延長(zhǎng),交OB于點(diǎn)P,交AB邊于點(diǎn)M.若OF=3,MH=5,求AC邊的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,對(duì)角線(xiàn)AC,BD交于點(diǎn)O,AC平分∠BAD,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接OE.
(1)求證:四邊形ABCD是菱形;
(2)若AB=,BD=2,求OE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn),連接AE、CF.
(1)求證:四邊形AECF是矩形;
(2)若AB=6,求菱形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題:如圖1,等腰直角三角形中,,點(diǎn)、點(diǎn)分別在邊上,且,顯然.
變式:若將圖1中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)在的內(nèi)部,其它條件不變(如圖2),請(qǐng)你猜想線(xiàn)段與線(xiàn)段的關(guān)系,并加以證明.
拓展:若圖2中的、都為等邊三角形,其它條件不變(如圖3),則__________,直線(xiàn)與相交所夾的銳角為__________°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線(xiàn) 與對(duì)邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線(xiàn)段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形,另一個(gè)與原三角形相似,我們把這條線(xiàn)段叫做這個(gè)三角形的完美分割線(xiàn).
如圖1,在中,是的完美分割線(xiàn),且, 則的度數(shù)是
如圖2,在中,為角平分線(xiàn),,求證: 為的完美分割線(xiàn).
如圖2,中,是的完美分割線(xiàn),且是以為底邊的等腰三角形,求完美分割線(xiàn)的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將矩形紙片ABCD(AD>DC)的一角沿著過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)折疊,使點(diǎn)A與BC邊上的點(diǎn)E重合,折痕交AB于點(diǎn)F.若BE:EC=m:n,則AF:FB=
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