湖北省天門市2009屆高三三月聯(lián)考數學試題(文科)

20090320

一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有

1.設全集,,,則=( )

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A.                B.            C.           D.

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2.已知xy=9,,t=(log3x)(log3y)則                                                             (    )

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       A.                                           B.0<t<1

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       C.t>1                                                  D.

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3.等比數列的值為                       (    )

    A.64             B.-8            C.8              D.±8

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4.平面向量也叫二維向量,二維向量的坐標表示及其運算可以推廣到維向量,n

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   維向量可用(x1, x2, x3,???xn)表示,設規(guī)定向量

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   夾角的余弦 時,cos=

                                                                                                                              (    )

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       A.                  B.1                        C.2                       D.

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5.已知函數f(x)是定義R在上的奇函數,當x<0時,那么f-―1(0)+f-―1 (-9)的值

   為                                                                                                                     (    )

       A.3                       B.-3                       C.2                       D.-2

y-c-y

 A.40種           B.48種           C.60種                D.68種

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7.定義在R上的函數f(x),如果存在函數g (x)=kx+bk,b為常數),使得f(x)≥g(x)對一切

   實數x都成立,則稱g(x)為函數f(x)的一個承托函數�,F有如下命題:

       ① 對給定的函數f(x),其承托函數可能不存在,也可能有無數個;

       ② g(x)=2xf(x)=2x的一個承托函數;

       ③ 定義域和值域都是R的函數f(x)不存在承托函數。

       其中正確命題的序號是                                                                                    (    )

       A.①                      B.②                       C.①③                  D.②③

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8.如圖在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中,

   PA1D1的中點,QA1B1上任意一點,E、F

   CD上任意兩點,且EF的長為定值b,則下列

   四個值中不為定值的是                              (    )

       A.點到平面的距離

       B.二面角的大小

       C.直線與平面所成的角

       D.三棱錐的體積

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9.設P為曲線Cy=x2+2x+3上的點,且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為

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   ,則點P橫坐標的取值范圍為                                                               (    )

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       A.                                            B.[-1,0]

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       C.[0,1]                                               D.

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10.平面、、兩兩互相垂直,點A∈,點A、的距離都是3,P上的

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       動點,P的距離是到點A距離的2倍,則點P的軌跡上的點到的距離的最小值

                                                                                                                              (    )

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       A.                                             B.

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       C.                                             D.

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二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分。將答案寫在答題卡相應的橫線上。)

11.已知數列{an}的前n項和Sn=n2-9n,則其通項an=           。

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12.已知雙曲線a>0,b>0)的離心率是,則該雙曲線兩漸近線夾

       角是             

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13.設函數f(x)的圖象關于點(1,2)對稱,且存在反函數f―1(x),f(4)=0,則f―1(4)=    

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14.若,則實數m滿足條件

                                          。

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15.給出下列命題

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       ① 非零向量滿足||=||=|-|,則+的夾角為30°;

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       ② ?>0是、的夾角為銳角的充要條件;

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       ③ 將函數y=|x-1|的圖象按向量=(-1,0)平移,得到的圖像對應的函數為y=|x|;

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       ④若()?()=0,則△ABC為等腰三角形

       以上命題正確的是                   。(注:把你認為正確的命題的序號都填上)

    寫在答題卡相應處)

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三、解答題(本大題共6小題,共75分。解答應寫出文字說明、證明和演算步驟。將答案

16.(本小題滿分12分)

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       已知向量

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   (1)若,球向量的夾角;

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   (2)當時,求函數的最大值。

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17.(本題滿分12分).設進入健身中心的每一位健身者選擇甲種健身項目的概率是,選擇乙種健身項目的概率是,且選擇甲種與選擇乙種健身項目相互獨立,各位健身者之間選擇健身項目是相互獨立的。

(Ⅰ)求進入該健身中心的1位健身者選擇甲、乙兩種項目中的一項的概率;

(Ⅱ)求進入該健身中心的4位健身者中,至少有2位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目的概率。

 

 

 

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18.(本小題滿分12分)

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       已知函數

   (1)若函數f(x)的圖像上點P(1,m)處的切線方程為3x-y+b=0,求m的值。

   (2)若函數f(x)在(1,2)內是增函數,求a的取值范圍。

 

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19.(本小題滿分12分)

       已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F為棱BB1

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              的中點,M為線段AC1的中點。

   (1)求證:直線MF∥平面ABCD;

   (2)求證:平面AFC1⊥平面ACC1A1;

   (3)求平面AFC1與與平面ABCD所成二面角的大小。

 

 

 

 

 

 

 

 

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20.(本小題滿分13分)

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       已知A(-2,0)、B(2,0),點C、點D滿足

   (1)求點D的軌跡方程;

   (2)過點A作直線l交以A、B為焦點的橢圓與M、N兩點,線段MN的中點到y軸的

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        距離為,且直線l與點D的軌跡相切,求該橢圓的方程。

 

 

 

 

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21.(本小題滿分14分)

       已知數列{an}的前n項和為Sn,且anSn與2的等差中項,數列{bn}中,b1=1,

       點P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上。

   (1)求a1a2的值;

   (2)求數列{an},{bn}的通項anbn

   (3)設cn=an?bn,求數列{cn}的前n項和Tn

 

 

 

 

 

 

 

 

參 考 答 案20090320

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一、選擇題

1.C   2.A   3.D   4.D   5.D   6.B   7.A   8.C   9.D   10.A

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二、填空題

11.2n-10      12.     13.-2     14.     15.①③④

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三、解答題

16.解:(1)當時,

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       ∴                                                                      ??????????????6分

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   (2)

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       =

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       ∵,     ∴

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       故,

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       ∴當                          ????????????????12分

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17..解:(Ⅰ)記A表示事件:進入該健身中心的1位健身者選擇的是甲種項目,B表示事件:進入該健身中心的1位健身者選擇的是乙種項目,則事件A與事件B相互獨立,P(A)=,P(B)=。???-1分

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故進入該健身中心的1位健身者選擇甲、乙兩種項目中的一項的概率為:P=P(A)。-??4分

(Ⅱ)記C表示事件:進入該健身中心的1位健身者既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目,D表示事件:進入該健身中心的4位健身者中,至少有2位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目,A2表示事件:進入該健身中心的4位健身者中恰有2位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目,A3表示事件:進入該健身中心的4位健身者中恰有3位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目,A4表示事件:進入該健身中心的4位健身者中恰有4位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目,???5分

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則P(C)=,???7分

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,???8分

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,???9分

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???10分

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。???12分

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18.解:(1)∵

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       ∴                                                       ?????????????????2分

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       則過點P(1,m)的切線斜率為             ?????????????????3分

       又∵切線方程為3x-y+b=0

       ∴-1-4a=3,即a=-1                                                                                       ??????????????????4分

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       ∴                                                     ??????????????????5分

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       又∵P(1,m)在f(x)的圖像上,∴                         ??????????????????6分

   (2)∵函數f(x)在(1,2)內是增函數                                   ??????????????????7分

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       ∴0對一切x∈(1,2)恒成立

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       即                             ?????????????????9分

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                  ?????????????????11分

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       ∴

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19.解法一:

   (1)延長C1F交CB的延長線于點N,連接AN。因為F是BB1的中點,

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       所以F為C1N的中點,B為CN的中點。????2分

       又M是線段AC1的中點,故MF∥AN。?????3分

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       又MF平面ABCDAN平面ABCD。

       ∴MF∥平面ABCD。                              ???5分

   (2)證明:連BD,由直四棱柱ABCDA1B1C1D1

       可知A1A⊥平面ABCD,

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       又∵BD平面ABCD, ∴A1ABD。

       ∵四邊形ABCD為菱形,∴ACBD。

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       又∵ACA1A=A,ACAA平面ACC1A1。

       ∴BD⊥平面ACC1A1。                                                           ?????????????????7分

       在四邊形DANB中,DA∥BN且DA=BN,所以四邊形DANB為平行四邊形

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       故NA∥BD,∴NA⊥平面ACC1A1,又因為NA平面AFC1

       ∴平面AFC1ACC1A1

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   (3)由(2)知BD⊥ACC1A1,又AC1ACC1A1,

       ∴BD⊥AC1,∴BD∥NA,∴AC1⊥NA。

       又由BD⊥AC可知NA⊥AC,

       ∴∠C1AC就是平面AFC1與平面ABCD所成二面角的平面角或補角。           ???10分

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       在Rt△C1AC中,tan,                                                     ???12分

       故∠C1AC=30°

       ∴平面AFC1與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°。                    ???12分

       解法二:

       設AC∩BD=0,因為M、O分別為C1A、CA的中點,所以,MO∥C1C,

       又由直四棱柱知C1C⊥平面ABCD,所以MO⊥平面ABCD。

       在棱形ABCD中,BD⊥AC,所以,OB、OC、OM兩兩垂直。

       故可以O為原點,OB、OC、OM所在直線分別為x軸、y軸、z軸如圖建立空間直角坐

       標系

       若設|OB|=1,則B(1,0,0),B1(1,0,2),

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       A(0,,0),C(0,,0),C1(0,,2)。                             ???3分

   (1)由F、M分別為B1B、C1A的中點可知:F(1,0,1),

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       M(0,0,1),所以(1,0,0)=

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       又不共線,所以,MF∥OB。

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       ∵MF平面ABCD,OB平面ABCD,

       ∴MF∥平面ABCD。                              ???6分

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   (2)(1,0,0)為平面的法ACC1A1的法向量。

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    設為平面AFC1的一個法向量

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       則

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       由

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       令y=1,得z=,此時                                                           ???9分

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       由于,所以,平面AFC1⊥平面ACC1A1。     ???10分

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   (3)為平面ABCD的法向量,設平面AFC1與平面ABCD所成的二面角

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       的大小為,

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       則

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       所以=30°或150°。

       即平面AFC1與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°。                    ???11分

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20.解:

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   (1)設C、D點的坐標分別為C(x0,y0),D(x,y),則=(x0+2,y0),=(4,0)

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       則(x0+6,y0),故                  ???2分

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       又                              ???4分

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       代入x2+y2=1,即為所求點D的軌跡方程        ???6分

   (2)易知直線lx軸不垂直,設直線l的方程為y=k(x+2)     ①

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       又設橢圓方程為                               ②

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       因為直線l與圓x+y=1相切,故,解得k=

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       將①代入②整理得,

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       而k=

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       設M(x1y1),N(x2,y2),則x1+x2=

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       由題意有求的a=8,經檢驗,此時△>0.

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       故所求的橢圓方程為                                                                  ???13分

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21.解:

   (1)∵anSn與2的等差中項

       ∴Sn=2an-2             ∴a1=S1=2a1-2,解得a1=2

       a1+a2=S2=2a2-2,解得a2=4                                                                          ???3分

   (2)∵Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,

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       又SnSn-1=an,

       ∴an=2an-2an-1

       ∵an≠0,

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       ∴,即數列{an}是等比樹立∵a1=2,∴an=2n

       ∵點P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上,∴bn-bn+1+2=0,

       ∴bn+1-bn=2,即數列{bn}是等差數列,又b1=1,∴bn=2n-1,                            ???8分

   (3)∵cn=(2n-1)2n

       ∴Tn=a1b1+ a2b2+????anbn=1×2+3×22+5×23+????+(2n-1)2n

       ∴2Tn=1×22+3×23+????+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1

       因此:-Tn=1×2+(2×22+2×23+???+2×2n)-(2n-1)2n+1,

       即:-Tn=1×2+(23+24+????+2n+1)-(2n-1)2n+1,

       ∴Tn=(2n-3)2n+1+6                                                                                          ??14分

 

 

 

 

 

 

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同步練習冊答案

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