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專題九《圖形與變換》
●中考點擊
考點分析：
內容
要求
1、軸對稱圖形的識別，軸對稱的性質及其應用
Ⅰ
2、中心對稱圖形的識別，中心對稱的性質及其應用
Ⅱ
3、圖形的平移與旋轉的性質及應用
Ⅱ
4、相似三角形的性質與判定的應用
Ⅱ
5、位似圖形的識別，位似性質的簡單應用
Ⅰ
命題預測：
本專題主要包括圖形的變換和相似形．其中軸對稱圖形、平移、中心對稱圖形的識別，相似三角形性質以填空和選擇題為主，主要是考查對圖形的識別和性質；圖形的折疊、平移、旋轉與幾何圖形面積相關的計算問題以填空題和解答題為主，主要是考查對幾何問題的綜合運用能力；而相似三角形的性質及判斷定的應用往往還會結合圓或者解直角三角形等問題一并考查，主要是以解答題為主。
對比近兩年中考試題，預測2008年在這方面的考查將會弱化較為復雜的綜合題和計算題，而相對強化圖形與變換中的對稱、平移、旋轉以及相似和位似等方面的識別題、創(chuàng)新題、開放題，主要考查學生的動手能力，觀察與實驗能力，探索與實踐能力，中考命題趨勢是穩(wěn)中求變，變中創(chuàng)新。
●難題透視
例1如圖9-1，把一個正方形三次對折后沿虛線剪下，則所得圖形是（ ）
【考點要求】本題考查學生軸對稱知識的靈活應用。
【思路點拔】通過實物的演示或者操作以及空間想象，不難得到正確答案。
【方法點撥】在解答圖形的折疊問題時，有時可借助實物進行操作、演示，幫助理解，從而彌補空間思維上出現(xiàn)的盲區(qū)。
例2如圖9-2，一只小狗正在平面鏡前欣賞自己的全身像，此時，它所看到的全身像（ ）
【考點要求】本題考查平面鏡的軸對稱變換。
【思路點拔】觀察所給的“小狗照鏡子”圖，可以發(fā)現(xiàn)小狗的尾巴向左，并且正面向鏡子，由于平面鏡成像是軸對稱變換，由性質可知，像的尾巴應向左且正面向前。
【答案】選A。
【錯解剖析】部分學生未能抓住平面鏡成像的軸對稱變換特性而選擇錯誤答案。
解題關鍵：先分析清問題是何種對稱變換，然后利用性質解題。
例3如圖9-3，下列圖案②③④⑤⑥⑦中， 是由①平移得出的， 是由①平移且旋轉得出的。
【考點要求】本題考查平移、旋轉的定義。
【思路點拔】圖①中的鴿子是頭向左，尾巴向右展翅飛翔，平移后的圖形應與其方向保持一致，而如果經過旋轉后則會發(fā)生方向上的改變。
【答案】③⑤是由①平移得出的，②④⑥⑦是由①平移且旋轉得出的。
【錯解剖析】本題需熟悉平移與旋轉的性質，同時還需要一定的空間想象能力。
例4已知三個數(shù)1,2,
,請你再添上一個(只填一個)數(shù), 使它們能構成一個比例式,則這個數(shù)是_________.
【考點要求】本題考查比例式的概念。
【思路點拔】因為所添數(shù)字位置未作要求，因而有多種可能性，設所添數(shù)字為x，則有以下幾種可能，
，
， 
。
【答案】2或
或
。
【思路點拔】這是一道開放型試題，由于題中沒有告知構成比例的各數(shù)順序, 故應考慮各種可能位置.
解題關鍵：以x為比例外項，則另一個比例外項可能是1、2或.
例5如圖9-4,在△ABC中,AC>AB,點D在AC邊上(點D不與A、C重合),若再增加上條件就能使△ABD∽△ACB,則這個條件可以是_______.
【考點要求】本題考查三角形相似的判定方法的運用。
【思路點拔】由于所識別的兩三角形隱含著一個公共角∠A,因此依照識別方法,只要再附加條件∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC,或
即可.
【答案】∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC,。
【錯解剖析】部分學生不熟悉三角形相似的判定方法，易錯用“邊邊角”進行判定，也有學生不注意兩個三角形頂點的對應。突破方法：本題答案只要求填寫一個，為確保正確，可根據(jù)△ABD∽△ACB找出一對相等的對應角。
例6如圖9-6,AD是直角△ABC斜邊上的高,DE⊥DF,且DE和DF分別交AB、AC于E、F.
求證:
。
【考點要求】本題考查利用相似證明比例線段問題。
【思路點拔】∵∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴∠B+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°.
∴∠B=∠DAC.
同理∠C=∠BAD.
又∵∠ADE+∠ADF=90°,∠CDF+∠ADF=90°,
∴∠ADE=∠CDF.
又∵∠BED=∠BAD+∠ADE,∠AFD=∠C+∠CDF.
∴∠BED=∠AFD.
∴△BED∽△AFD.
∴。
【方法點拔】所證比例式中四條線段為△AFD與△BDE的邊,只需證△AFD與△BDE相似即可.
解題關鍵：證明比例式或等積式的基本方法是證明包含比例式或等積式中的四條線段所在的兩三角形相似.如果直接證明不容易,則可等線段轉化或等比轉化.
●難點突破方法總結
圖形的軸對稱、平移、旋轉是近年中考的新題型、熱點題型，它主要考查學生的觀察與實驗能力，探索與實踐能力，因此在解題時應注意以下方面：
1.熟練掌握圖形的軸對稱、圖形的平移、圖形的旋轉的基本性質和基本方法。
2.結合具體問題大膽嘗試，動手操作平移、旋轉，探究發(fā)現(xiàn)其內在規(guī)律是解答操作題的基本方法。
3．注重圖形與變換的創(chuàng)新題，弄清其本質，掌握其基本的解題方法，尤其是折疊與旋轉等。
相似形內容難度與前幾年相比，有所降低，主要解題方法可歸納如下：
1.準確掌握圖形相似的概念、性質、判定和應用是應考的基本戰(zhàn)略。
2.把握基本圖形，實現(xiàn)對等轉化是解決與相似三角形有關問題的重要方法，如通過平行線構造相似三角形；利用“A”型、“X”型找相似三角形；利用中間比實現(xiàn)轉化等。
3.熟練掌握圖形的相似各類應用問題，從中提煉出解題的基本方法，如類比法、設比值法、數(shù)形結合法等。
4.注重基礎，不斷創(chuàng)新，利用相似解決實際生活中的測量、設計等問題。
●拓展演練
一、選擇題
1．在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉。下列圖案中，不能由一個圖形通過旋轉而構成的是（ ）
2．下列各圖中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
 |
3． 如圖,已知D、E分別是△ABC的AB、AC邊上一點,DE∥BC, 且
四邊形
=1:3，那么AD:AB等于( )
A.
B.
C.
D.
4. 如圖是用杠桿撬石頭的示意圖,C是支點,當用力壓杠桿的 A端時,杠桿繞C點轉動,另一端B向上翹起,石頭就被撬動.現(xiàn)有一塊石頭,要使其滾動,杠桿的B端必須向上翹起
5.把正方形ABCD沿著對角線AC的方向平移到正方形A′B′C′D′的位置，它們的重疊部分(圖中的陰影部分)的面積是正方形ABCD面積的一半，若AC=
，則正方形平移的距離AA′是（ ）.
A.1 B.
C.
D.
6.如圖13,已知梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC、BD分別交中位線EF于點H、G,且EG:GH:HF=1:2:1,那么AD:BC等于( )
A.2:3 B.3:5 C.1:3 D.1:2
7.同學們曾玩過萬花筒，它是由三塊等寬等長的玻璃片圍成的.如圖是看到的萬花筒的一個圖案，圖中所有小三角形均是全等的等邊三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A為中心（ ）
A.順時針旋轉60°得到 B.順時針旋轉120°得到
C.逆時針旋轉60°得到 D.逆時針旋轉120°得到
8.已知∠AOB=30°，點P在∠AOB內部，P1與P關于OB對稱，P2與P關于OA對稱，則P1，O，P2三點所構成的三角形是（ �。�
A．直角三角形 B．鈍角三角形
C．等腰三角形 D．等邊三角形
9.點P是△ABC中AB邊上的一點,過點P作直線(不與直線AB重合)截△ABC,使截得的三角形與原三角形相似.滿足這樣條件的直線最多有( )
A.2條 B.3條 C.4條 D.5條
10. 如圖，菱形紙片ABCD的一內角為60°．邊長為2， 將它繞對角線的交點O順時針旋轉90°后到A′B′C′D′位置，則旋轉前后兩菱形重疊部分多邊形的周長為（ ）
A.8 B.4(
－1) C.8(－1) D.4(＋1)
二、填空題
11.在你所學過的幾何圖形中，寫出兩個既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的圖形名稱：
12.若兩個相似三角形的相似比是2:3, 則這兩個三角形對應中線的比是__________.
13.由16個相同的小正方形拼成的正方形網格，現(xiàn)將其中的兩個小正方形涂黑(如右圖)。請你用兩種不同的方法分別在下圖中再將兩個空白的小正方形涂黑，使它成為軸對稱圖形。
14.如圖，AD是ΔABC的中線，∠ADC=45°，把ΔADC沿AD 對
折，點C落在點C′的位置，則BC′與BC之間的數(shù)量關系是
.
15.如圖,已知∠1=∠2,若再增加一個條件就能使結論“AB?DE=AD?BC”成立,則這個條件可以是_________________.
16.如圖,在正方形ABCD中,F是AD的中點,BF與AC交于點G,則△BGC與四邊形CGFD的面積之比是________.
17.在△ABC和△A′B′C′中,有下列條件:①
；②
；③∠A=∠A′；④∠B=∠B′；⑤∠C=∠C′.如果從中任取兩個條件組成一組,那么能判斷△ABC∽△A′B′C′的共有_______組.
三、解答題
18．已知，點P是正方形ABCD
內的一點，連PA、PB、PC.
（1）將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置（如圖1）.
①設AB的長為a，PB的長為b（b<a），求△PAB旋轉到△P′CB的過程中邊PA所掃過區(qū)域（圖1中陰影部分）的面積；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的長.
（2）如圖2，若PA2+PC2=2PB2，請說明點P必在對角線AC上.
29．實驗與推理如圖14?1，14?2，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊經過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A，B重合），另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F。
⑴如圖14?1，當點E在AB邊的中點位置時：
①通過測量DE，EF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關系 是 ；
②連接點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關系是 ；
③請證明你的上述兩猜想。
⑵如圖14?2，當點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N，使得NE=BF，進而猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關系。
20．圖1是邊長分別為4和3的兩個等邊三角形紙片ABC和C′D′E′疊放在一起（C與C′重合）.
（1）操作：固定△ABC，將△C′D′E′繞點C順時針旋轉30°得到△CDE，連結AD、BE，CE的延長線交AB于F（圖2）；
探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關系？試證明你的結論.
（2）操作：將圖2中的△CDE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位的速度平移，平移后的△CDE設為△PQR（圖3）；
探究：設△PQR移動的時間為x秒，△PQR與△ABC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍.
（3）操作：圖1中△C′D′E′固定，將△ABC移動，使頂點C落在C′E′的中點，邊BC交D′E′于點M，邊AC交D′C′于點N，設∠AC C′=α（30°＜α＜90°＝（圖4）；
探究：在圖4中，線段C′N?E′M的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請你求出C′N?E′M的值，如果有變化，請你說明理由.
●習題答案專題九《圖形與變換》
1.【答案】C [點撥：能由旋轉而構成的圖形必須是旋轉對稱圖形，C只是軸對稱圖形]
2.【答案】C [點撥：B即不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形]
3.【答案】C [點撥：由四邊形 =1:3，可知
=1:4，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方可得AD:AB=1:2]
4.【答案】C [點撥：根據(jù)相似三角形的性質，可求得A端要向下壓
5.【答案】D [點撥：因為AC=，所以正方形ABCD的面積等于1，所以陰影小正方形的面積等于
，其邊長等于
，所以A′C=1，所以AA′=]
6.【答案】C [點撥：設
，則
，根據(jù)三角形中位線的性質可得
，
，所以AD:BC=1:3]
7.【答案】C [點撥：菱形ABCD中AB邊的對應邊為AE，所以旋轉角為∠BAE=120°]
8.【答案】D [點撥：根據(jù)題目描述，畫出圖形，利用軸對稱性質容易得到結果]
9.【答案】C [點撥：過點P可分別作AC、BC的平行線，由此可得相似三角形，另外還可作與AB相交的兩條直線，構造相似三角形]
10.【答案】C [根據(jù)旋轉性質，可以知道所得陰影部分圖形的邊長相等，再根據(jù)三角形全等和勾股定理可證得其長等于AB′=－1，從而求得周長]
11.【答案】菱形、圓 [點撥：比如矩形、正方形、菱形、圓等]
12.【答案】2:3 [根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方可求得結果]
13.【答案】略 [點撥：本題沒有固定答案，有多種答案可選擇]
14.【答案】BC′=
BC [點撥：因為∠ADC=45°，由軸對稱性質可知DC′=DC，∠C′DC=90°.又BD=CD，由勾股定理可知，BC′= 
BC]
15.【答案】∠B=∠D [點撥：本題答案不唯一，要結論成立，只需△ABC∽△ADE]
16.【答案】4:5 [點撥：容易證明△AFG∽△CBG，因為F是AD中點，所以FG┱BG=1┱2，又△AFG與△ABG等高，所以
=2┱1，所以△BGC與四邊形CGFD的面積之比是4:5]
17.【答案】6組 [點撥：根據(jù)三角形相似的判定，有三組對應邊的比相等，兩個對應角相等，兩組對應邊的比相等且夾角相等三種依據(jù)可判定兩個三角形相似，所以有以下組合：①②、①④、②⑤、③④、④⑤、③⑤]
三、解答題
18.【答案】解：（1）①S陰影=
②連結PP′，證△PBP′為等腰直角三角形，從而PC=6；
（2）將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理證出∠P′CP=90°，再證∠BPC+∠APB=180°，即點P在對角線AC上.
19.【答案】解：（1）①DE=EF；②NE=BF。
③證明：∵四邊形ABCD是正方形，N，E分別為AD，AB的中點，∴DN=EB
∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF
∴△DNE≌△EBF，∴ DE=EF，NE=BF
（2）在DA邊上截取DN=EB（或截取AN=AE），連結NE，點N就使得NE=BF成立（圖略）此時，DE=EF。
20【答案】解：（1）BE=AD
證明：∵△ABC與△DCE是等邊三角形
∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB，CE=CD ∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD
∴
BE=AD（也可用旋轉方法證明BE=AD）
（2）如圖在△CQT中 ∵∠TCQ=30° ∠RQT=60°
∴∠QTC=30°
∴∠QTC=∠TCQ ∴QT=QC=x ∴ RT=3－x
∵∠RTS＋∠R=90° ∴∠RST=90°
∴y=
×32 －
(3－x)2=－(3－x)2＋
(0≤x≤3)
（3）C′N?E′M的值不變 證明：∵∠ACC′=60°
∴∠MCE′＋∠NCC′=120°
∵∠CNC′＋∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′
∵∠E′=∠C′ ∴△E′MC∽△C′CN
∴
∴C′N?E′M=C′C?E′C=
×=
.
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