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專題八《銳角三角函數(shù)與解直角三角形》
●中考點擊
考點分析：
內(nèi)容
要求
1、特殊角的三角函數(shù)值
Ⅰ
2、利用計算器求銳角的三角函數(shù)值，并能根據(jù)已知的三角函數(shù)值求對應的銳角
Ⅱ
3、綜合運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單實際問題
Ⅱ
命題預測：本專題內(nèi)容主要涉及兩方面，一是銳角三角函數(shù)問題的基本運算，二是解直角三角形．其中，解直角三角形的應用題是中考重點考查的內(nèi)容，題型廣泛，有測建筑物高度的，有與航海有關(guān)的問題，有與筑路、修堤有關(guān)的問題．要注意把具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，在計算時不能直接算出某些量時，要通過列方程的辦法加以解決．
預測2007年中考的考查熱點，主要要求能夠正確地應用sinA、cosA、tgA、ctgA表示直角三角形兩邊的比，并且要熟記30°、45°、60°角的各個三角函數(shù)值．理解直角三角形中的邊、角之間的關(guān)系，會用勾股定理及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會用相關(guān)的知識解決一些簡單的實際問題，尤其是在計算距離、高度和角度等方面．
●難點透視
例1已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正確的是
A、
B、
C、
D、
【考點要求】本題考查銳角三角函數(shù)的概念。
【思路點撥】根據(jù)題目所給條件，可畫出直角三角形，結(jié)合圖形容易判斷
是∠B的正切值。
【答案】選C。
【方法點撥】部分學生會直接憑想象判斷并選擇結(jié)果，從而容易導致錯誤。突破方法：這類題目本身難度不大，但卻容易出現(xiàn)錯誤，關(guān)鍵是要畫出圖形，結(jié)合圖形進行判斷更具直觀性，可減少錯誤的發(fā)生。
例2某山路坡面坡度
,某人沿此山路向上前進
【考點要求】本是考查坡度與坡角正切值關(guān)系。
【思路點撥】坡度即坡角的正切值為
，所以坡角的正弦值可求得等于
，所以沿著山路前進=10（米）。
【答案】填10。
【方法點撥】少數(shù)學生因為未能正確理解坡度的意義，而出現(xiàn)使用錯誤。突破方法：牢記坡度表示坡角的正切值即坡角的對邊：坡角的鄰邊=，然后再結(jié)合直角三角形，可求出坡角的正弦值，從而容易求得結(jié)果。
例3如圖8-1，在△ABC中，∠C＝90°，點D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=
．求：（1）DC的長；（2）sinB的值．
【考點要求】本題考查銳三角函數(shù)概念的相關(guān)知識及其簡單運用。
【思路點撥】（1）∵在Rt△ABC中，cos∠ADC＝＝
，設(shè)CD＝3k，∴AD＝5k
又∵BC＝AD，∴3k+4＝5k，∴k＝2． ∴CD＝3k＝6
（2）∵BC＝3k＋4＝6＋4＝10，AC＝
＝4k＝8
∴AB＝
∴sinB=
【答案】（1）CD＝6；（2）sinB=
。
【方法點撥】本題的關(guān)鍵是抓住“AD＝BC”這一相等的關(guān)系，應用銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理解題．
例4如圖所示，秋千鏈子的長度為
，則秋千踏板與地面的最大距離約為多少？(參考數(shù)據(jù)：
≈0.8,
≈0.6)
【考點要求】本題考查利用銳角三角函數(shù)知識和解直角三角形解決實際生活中的直角三角形問題．
【思路點撥】設(shè)秋千鏈子的上端固定于A處，秋千踏板擺動到最高位置時踏板位于B處．過點A，
B的鉛垂線分別為AD，BE，點D，E在地面上，過B作BC⊥AD于點C．
在Rt
中，∵
，
，
∴ AC=
≈
=1.8（m）．
∴ 
≈
（m）．
∴ 
≈
（m）．
【答案】秋千擺動時踏板與地面的最大距離約為m．
【方法點撥】部分學生想直接求出踏板離地最高的距離即BE，但卻缺少條件。突破方法：通過作輔助線，將BE轉(zhuǎn)化到CD位置上，根據(jù)題目所給條件容易求出AC，從而可求得CD的長。
解題關(guān)鍵：利用解直角三角形求解實際問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造適當?shù)闹苯侨切巍?/p>
例5如圖8-5，一條漁船某時刻在位置A觀測燈塔B、C(燈塔B距離A處較近)，兩個燈塔恰好在北偏東65°45′的方向上，漁船向正東方向航行l(wèi)小時45分鐘之后到達D點，觀測到燈塔B恰好在正北方向上，已知兩個燈塔之間的距離是12海里，漁船的速度是16海里／時，又知在燈塔C周圍18.6海里內(nèi)有暗礁，問這條漁船按原來的方向繼續(xù)航行，有沒有觸礁的危險?
【考點要求】本題考查解直角三角形在航海問題中的運用，解決這類問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造相關(guān)的直角三角形幫助解題．
【思路點撥】在Rt△ABD中，
（海里），
∠BAD=90°-65°45′=24°15′.
∵cos24°15′=
， ∴
(海里).
AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).
在Rt△ACE中，sin24°15′=
，
∴CE=AC?sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里).
∵17.54＜18.6，∴有觸礁危險。
【答案】有觸礁危險，不能繼續(xù)航行。
【方法點撥】本題有兩個難點，一是要能將實際問題抽象為數(shù)學問題，二是構(gòu)造合適的直角形。突破方法：有無觸礁危險，關(guān)鍵看離燈塔C最近的距離與18.6的大小關(guān)系，如果最近的距離大于18.6，則不會有觸礁危險。
解題關(guān)鍵：離燈塔最近的距離是從燈塔向航線作垂線段。
例6某數(shù)學興趣小組，利用樹影測量樹高．已測出樹AB的影長AC為
（1）求出樹高AB；
（2）因水土流失，此時樹AB沿太陽光線方向倒下，在傾倒過程中，樹影長度發(fā)生了變化，假設(shè)太陽光線與地面夾角保持不變，試求樹影的最大長度．
（計算結(jié)果精確到
≈1.414，
≈1.732）
 |
【考點要求】本題考查解直角三角形在測量中的實際運用．
【思路點撥】（1）在Rt△A BC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°
∵tanC＝
∴AB＝AC?tanC＝9×
≈5.2（米）
（2）以點A為圓心，以AB為半徑作圓弧，當太陽光線與圓弧相切時樹影最長，點D為切點，DE⊥AD交AC于E點，（如圖2）
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，
∴AE＝2AD＝2×5.2＝10.4（米）
【答案】樹高AB約為
【方法點撥】部分學生第（1）問沒有太大困難，第（2）問中樹在傾倒過程中，確定何處樹影最長比較困難。突破方法：以A為圓心，AB為半徑作圓弧，其中與圓弧相切的太陽光線所照射得到的樹影最長。
解題關(guān)鍵：如何用直觀的方式將樹傾倒過程體現(xiàn)出來，這是解決該題的關(guān)鍵所在。
例7初三（5）班綜合實踐小組去湖濱花園測量人工湖的長，如圖
，結(jié)果精確到
【考點要求】本題考查解直角三角形在實際生活當中的綜合運用．要求學生能根據(jù)問題實際快速確定正確解決問題的方法．
【思路點撥】過點B作BE⊥D，BF⊥D，垂足分別為E，F(xiàn)，如圖2
由題意知，AD⊥CD
∴四邊形BFDE為矩形
∴BF=ED
在Rt△ABE中，AE=AB?cos∠EAB
在Rt△BCF中，BF=BC?cos∠FBC
∴AD=AE+BF=20?cos60o+40?cos45o
=
=
=10+20×1.414
=38.28（米）
【答案】
【方法點撥】部分學生知道需要利用解直角三角形來解題，但卻又不知從何處入手。突破方法：在無法直接求出AD長的情況下，可考慮分段計算，也就是構(gòu)造多個直角三角形，化整為零，各個突破，再積零為整，求得結(jié)果。
●難點突破方法總結(jié)
銳角三角函數(shù)與解直角三角形在近年的中考中，難度比以前有所降低，與課改相一致的是提高了應用的要求，強調(diào)利用解直角三角形知識解決生活實際中的有關(guān)測量、航海、定位等方面的運用。因此，在本專題中，有以下幾點應加以注意。
1.正確理解銳三角函數(shù)的概念，能準確表達各三角函數(shù)，并能說出常用特殊角的三角函數(shù)值。
2.在完成銳角三角函數(shù)的填空、選擇題時，要能根據(jù)題意畫出相關(guān)圖形，結(jié)合圖形解題更具直觀性。
3.能將實際問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的直角三角形問題，即把實際問題抽象為幾何問題，研究圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等解決生活問題。
4.注重基礎(chǔ)，不斷創(chuàng)新，掌握解直角三角形的基本技能，能靈活應對在測量、航海、定位等現(xiàn)代生活中常見問題，這也是以后中考命題的趨勢。
●拓展練習
一、填空題
1．如圖，如果△APB繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的長為____________． (不取近似值. 以下數(shù)據(jù)供解題使用：sin15°=
，cos15°=
)
2．用計算器計算：
．（精確到0.01）
3．如圖，在甲、乙兩地之間修一條筆直的公路，從甲地測得公路的走向是北偏東48°．甲、乙兩地間同時開工，若干天后，公路準確接通，則乙地所修公路的走向是南偏西 度．
 |
|||
 |
|||
4．如圖，機器人從A點，沿著西南方向，行了個4單位，到達B點后觀察到原點O在它的南偏東60°的方向上，則原來A的坐標為 （結(jié)果保留根號）．
5．求值：sin260°+cos260°= ．
6．在直角三角形ABC中，∠A=
，BC=13，AB=12，那么
．
7．根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，求得避雷針CD的長約為_______m（結(jié)果精確的到
 |
8．如圖，自動扶梯AB段的長度為
二、選擇題
9．在△ABC中，∠C＝900，AC＝BC＝1，則tanA的值是（ ）
A．
B．
C．1
D．
10．在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高線，已知∠ACD的正弦值是
，則
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為
，使梯子的底端到墻根O的距離等于
，那么
（ ）
A．等于
12．如圖，延長Rt△ABC斜邊AB到D點，使BD＝AB，連結(jié)CD，若cot∠BCD＝3，則tanA＝（ ）A．
B．
D．
三、解答題
13．已知等腰梯形ABCD中，AD＋BC＝
，AC與BD相交于點O，∠BOC＝1200，試求AB的長．
14．如圖，河對岸有一鐵塔AB．在C處測得塔頂A的仰角為30°，向塔前進
 |
15．如圖，我市某廣場一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40°夾角，且DB=
】
●習題答案
專題七《銳角三角函數(shù)與解直角三角形》
一、填空題
1．
（點撥：連結(jié)PP＇，過點B作BD⊥PP＇，因為∠PBP＇=30°，所以∠PBD=15°，利用sin15°=，先求出PD，乘以2即得PP＇）
2．2.35
3．48（點撥：根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等判斷）
4．(0，
)（點撥：過點B作BC⊥AO，利用勾股定理或三角函數(shù)可分別求得AC與OC的長）
5．1（點撥：根據(jù)公式sin2
+cos2=1）
6．
（點撥：先根據(jù)勾股定理求得AC=5，再根據(jù)
求出結(jié)果）
7．4.86（點撥：利用正切函數(shù)分別求了BD，BC的長）
8．
（點撥：根據(jù)
，求得
）
二、選擇題
9． C
10．D
11．C（點撥：利用勾股定理先求出AB的長，再求出的長）
12．A（點撥：過點D作DE⊥CB的延長線于點E，易證得△ACB與△DEB全等，所以∠A=∠BDE，BC=BE。又因為cot∠BCD＝3，所CE=3DE，所tanA=tan∠BDE=）
三、解答題
13．解：如圖，作DE∥AC交BC的延長線于E，則四邊形ACED是平行四邊形．
∴AD＝CE，DE＝AC，易證△ABC≌△DCB
∴AC＝DB，BD＝DE
∴△DBE為等腰三角形
BE＝BC＋AD＝
分別過A、D作AG⊥BC于G，DF⊥BC于F
∵∠BDE＝∠BOC＝1200，∴∠BDF＝600
∴BF＝BE＝
cm
在Rt△ABG中，sin∠ABG＝
∴AB＝
（cm）
答：AB的長是
cm．
14．在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB．
在Rt△ABC中， ∵∠ACB=30°， ∴BC=
AB．
設(shè)AB=x（米），∵CD=16，∴BC=x+16.∴x+16=x
．
即鐵塔AB的高為
米．
15．在R t△BCD中，∵ BD=5, ∴ BC=5
=
4.1955≈4.20.
在R t△BCD中，BE=BC+CE= 6.20,
∴ DE=
=
=
≈7.96
答：BC的長度約為4.20
,鋼纜ED的長度約7.96.
（若BC=4.1955暫不扣分，但是ED的長度未保留三個有效數(shù)字扣1分）
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