Question

7．2013年12月2日，我國(guó)成功發(fā)射探月衛(wèi)星“嫦娥三號(hào)”，該衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用的時(shí)間為t，月球半徑為R_月，月球表面處重力加速度為g_月．
（1）請(qǐng)推導(dǎo)出“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星離月球表面高度的表達(dá)式；
（2）地球半徑是月球半徑的4倍，地球表面重力加速度是月球的6倍，求地球和月球的質(zhì)量之比．

Answer 1

分析 （1）“嫦娥三號(hào)”星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列出等式．忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式求解．
（2）根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力表示出質(zhì)量進(jìn)行之比．

解答 解：（1）由題意知，“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星的周期為T=$\frac{t}{n}$設(shè)衛(wèi)星離月球表面的高度為h，由萬(wàn)有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{（{R}_{月}^{\;}+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（{R}_{月}^{\;}+h）$
根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力，有：
$G\frac{Mm′}{{R}_{月}^{2}}=m′{g}_{月}^{\;}$
聯(lián)立解得：$h=\root{3}{\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{月}^{2}{t}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}{n}_{\;}^{2}}}-{R}_{月}^{\;}$
（2）設(shè)星球的密度為ρ，由$G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}=m′g$得：$GM=g{R}_{\;}^{2}$
解得：$ρ=\frac{3g}{4πRG}$$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
將$\frac{{R}_{地}^{\;}}{{R}_{月}^{\;}}=4$，$\frac{{g}_{地}^{\;}}{{g}_{月}^{\;}}=6$代入上式解得：$\frac{{ρ}_{地}^{\;}}{{ρ}_{月}^{\;}}=\frac{3}{2}$$\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{月}^{\;}}=\frac{{g}_{地}^{\;}{R}_{地}^{2}}{{g}_{月}^{\;}{R}_{月\\;}^{2}}=6×{4}_{\;}^{2}=96$
答：（1）請(qǐng)推導(dǎo)出“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星離月球表面高度的表達(dá)式；
（2）地球半徑是月球半徑的4倍，地球表面重力加速度是月球的6倍，求地球和月球的質(zhì)量之比96：1

點(diǎn)評(píng) 本題考查應(yīng)用物理知識(shí)分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，運(yùn)用萬(wàn)有引力等于向心力研究．向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．