Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）若,求在點處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)的極值點；
（Ⅲ）若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時,的極小值點為和，極大值點為；當(dāng)時,的極小值點為；當(dāng)時,的極小值點為；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）時，，先求切線斜率，又切點為，利用直線的點斜式方程求出直線方程；（Ⅱ）極值點即定義域內(nèi)導(dǎo)數(shù)為0的根，且在其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號，首先求得定義域為，再去絕對號，分為和兩種情況，其次分別求的根并與定義域比較，將定義域外的舍去，并結(jié)合圖象判斷其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號，進(jìn)而求極值點；（Ⅲ）即，當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，，當(dāng)時，去絕對號得恒成立或恒成立，轉(zhuǎn)換為求右側(cè)函數(shù)的最值處理.
試題解析：的定義域為.
(Ⅰ)若，則，此時.因為，所以,所以切線方程為，即.
（Ⅱ）由于，.
⑴ 當(dāng)時，，，
令，得，（舍去），
且當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,的極小值點為.
⑵ 當(dāng)時，.
① 當(dāng)時，，令，得,(舍去).
若，即，則，所以在上單調(diào)遞增；
若，即， 則當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在區(qū)間上是單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值點為.
② 當(dāng)時，.
令，得，記，
若，即時，，所以在上單調(diào)遞減；
若，即時，則由得，且，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)時,的極小值點為和，極大值點為；
當(dāng)時,的極小值點為；
當(dāng)時,的極小值點為.
（Ⅲ）函數(shù)的定義域為.由，可得…（*）
（ⅰ）當(dāng)時，，，不等式（*）恒成立；
（ⅱ）當(dāng)時，，即，所以；
（ⅲ）當(dāng)時，不等式（*）恒成立等價于恒成立或恒成立.
令,則.令,則,
而，所以，即，
因此在上是減函數(shù)，所以在上無最小值，
所以不可能恒成立.
令，則，因此在上是減函數(shù)，
所以，所以.又因為，所以.
綜上所述，滿足條件的的取值范圍是.