Question

20．已知a∈R，函數(shù)f（x）=a+$\frac{1}{|x|}$
（1）當(dāng)a=1時，解不等式f（x）≤2x；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-2x=0在區(qū)間[-2，-1]上有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時，分類討論解不等式f（x）≤2x；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-2x=0在區(qū)間[-2，-1]上有解，即a=2x-$\frac{1}{|x|}$在區(qū)間[-2，-1]上有解，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，不等式f（x）≤2x，即1+$\frac{1}{|x|}$≤2x，
x＞0，可化為2x²-x-1≥0，解得x≥1；
x＜0，可化為2x²-x+1≤0，無解，
綜上所述，不等式的解集為{x|x≥1}；
（2）關(guān)于x的方程f（x）-2x=0在區(qū)間[-2，-1]上有解，即a=2x-$\frac{1}{|x|}$在區(qū)間[-2，-1]上有解，
∴a=2x+$\frac{1}{x}$在區(qū)間[-2，-1]上單調(diào)遞增，
∴-$\frac{9}{2}$≤a≤-3．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查方程解的問題，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．