Question

8．如圖所示，l₁，l₂是互相垂直的異面直線(xiàn)，MN是它們的公垂線(xiàn)段，點(diǎn)A，B在直線(xiàn)l₁上，且位于M點(diǎn)的兩側(cè)，C在l₂上，AM=BM=NM=CN
（1）求證：異面直線(xiàn)AC與BN垂直；
（2）若四面體ABCN的體積V_ABCN=9，求異面直線(xiàn)l₁，l₂之間的距離．

Answer 1

分析 （1）欲證AC⊥NB，可先證BN⊥面ACN，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理只需證AN⊥BN，CN⊥BN即可；
（2）判斷異面直線(xiàn)的距離，利用體積公式求解即可．

解答 解：（1）證明：由已知l₂⊥MN，l₂⊥l₁，MN∩l₁=M，可得l₂⊥平面ABN．
由已知MN⊥l₁，AM=MB=MN，
可知AN=NB且AN⊥NB．
又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影．
∴AC⊥NB
（2）∵AM=BM=NM=CN，MN是它們的公垂線(xiàn)段，
就是異面直線(xiàn)l₁，l₂之間的距離，
由中垂線(xiàn)的性質(zhì)可得AN=BN，四面體ABCN的體積V_ABCN=9，
可得：V_ABCN=9=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AB×MN×CN$=$\frac{1}{3}$MN³，
∴MN=3．
異面直線(xiàn)l₁，l₂之間的距離為3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．