【題目】已知函數(shù),.

(1)求的極值;

(2)若對任意的,當時,恒成立,求實數(shù)的最大值;

(3)若函數(shù)恰有兩個不相等的零點,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)的極小值為,無極大值;(2);(3) .

【解析】

(1)求出,判斷其符號,得出的單調性即可

(2)變形為,構造函數(shù),轉化為恒成立即可

(3)求出,然后分四種情況討論

(1),令,得.

列表如下:

1

0

極小值

,∴的極小值為,無極大值.

(2)∵,由(1)可知

等價于,

.

,則為增函數(shù).

恒成立.

恒成立.

,∵上恒成立

為增函數(shù).

上的最小值為.

,∴的最大值為.

(3)

①當時,當時,單調遞增

時,,單調遞減

所以的極大值為

所以函數(shù)至多一個零點

②當時,上單調遞增.

③當時,當時,,單調遞增

時,,單調遞減

所以的極大值為

的極小值為

所以函數(shù)至多有一個零點.

④當時,當,,單調遞增

時,,單調遞減

所以

Ⅰ:當時,即時,函數(shù)至多一個零點.

Ⅱ:當時,

所以存在,

所以函數(shù)上有唯一的零點.

所以函數(shù)上有唯一的零點.

綜上所述:實數(shù)的取值范圍為.

練習冊系列答案
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