Question

【題目】已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù).

（1）證明：在定義域上存在唯一的極大值點(diǎn)；

（2）若存在,使,證明：.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得,當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí),,所以在上遞減,又因?yàn)?/span>,,判斷出單調(diào)性,即可證明在定義域上存在唯一的極大值點(diǎn).

（2）假設(shè)存在,使,代入函數(shù)得,整理得.設(shè)新函數(shù),求導(dǎo)結(jié)果大于,在上遞增,再設(shè),則,即,,整理可得,根據(jù)對(duì)數(shù)均值不等式得出.

（1）,

當(dāng)時(shí),,,,

“”不能同時(shí)取到,所以；

當(dāng)時(shí),,所以在上遞減,

因?yàn)?/span>,,

所以在定義域存在唯一,使且；

當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,

所以是在定義域上的唯一極值點(diǎn)且是極大值點(diǎn).

（2）存在,使,即,

得.

設(shè),則,在上遞增,

不妨設(shè),則,即,,

所以,得,

根據(jù)對(duì)數(shù)均值不等式,可得,.