【題目】如圖,在多面體中,四邊形為矩形,,均為等邊三角形,,.
(1)過作截面與線段交于點,使得平面,試確定點的位置,并予以證明;
(2)在(1)的條件下,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)為的中點,證明見解析;(2)
【解析】
(1)連結(jié)AC交BD于M,連結(jié)MN,證明,根據(jù)線面平行判定定理即可得證;
(2)過F作平面ABCD,垂足為O,過O作x軸,作y軸于P,則P為BC的中點,以O為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出平面ABF的法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解直線BN與平面ABF所成角的正弦值即可.
(1)當(dāng)N為CF的中點時,平面,
證明:連結(jié)AC交BD于M,連結(jié)MN.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴M是AC的中點,
∵N是CF的中點,∴,
又平面BDN,平面BDN,
∴平面.
(2)過F作平面ABCD,垂足為O,過O作x軸,作y軸于P,則P為BC的中點,以O為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),則,,
∵,∴,∴,
∴,,,,.
∴,,,
設(shè)平面ABF的法向量為,
則,∴,
令,得,
∴,
∴直線BN與平面ABF所成角的正弦值為.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線方程是,求函數(shù)在上的值域;
(2)當(dāng)時,記函數(shù),若函數(shù)有三個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為(且).
(I)求直線的極坐標(biāo)方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)已知是直線上的一點,是曲線上的一點, ,,若的最大值為2,求的值.
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【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.
(1)求證:AE⊥平面PCD;
(2)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(3)求二面角A-PD-C的正弦值.
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【題目】在四棱錐中,平面,是正三角形,與的交點恰好是中點,又,.
(1)求證:;
(2)設(shè)為的中點,點在線段上,若直線平面,求的長;
(3)求二面角的余弦值.
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【題目】如圖,在棱長為的正方體中,為的中點,為上任意一點,,為上任意兩點,且的長為定值,則下面的四個值中不為定值的是( )
A. 點到平面的距離B. 三棱錐的體積
C. 直線與平面所成的角D. 二面角的大小
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)是曲線上的一個動點,若點到直線的距離的最大值為,求的值.
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【題目】某工廠共有名工人,已知這名工人去年完成的產(chǎn)品數(shù)都在區(qū)間(單位:萬件)內(nèi),其中每年完成萬件及以上的工人為優(yōu)秀員工,現(xiàn)將其分成組,第組、第組、第組、第組、第組對應(yīng)的區(qū)間分別為,,,,,并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求的值,并求去年優(yōu)秀員工人數(shù);
(2)選取合適的抽樣方法從這名工人中抽取容量為的樣本,求這組分別應(yīng)抽取的人數(shù);
(3)現(xiàn)從(2)中人的樣本中的優(yōu)秀員工中隨機選取名傳授經(jīng)驗,求選取的名工人在同一組的概率.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,,為橢圓上不與左右頂點重合的任意一點,,分別為的內(nèi)心、重心,當(dāng)軸時,橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
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