Question

【題目】已知直線過橢圓的右焦點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，且交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的射影依次為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線交軸于點(diǎn)，且，當(dāng)變化時，證明： 為定值；

（3）當(dāng)變化時，直線與是否相交于定點(diǎn)？若是，請求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）由題設(shè)條件求出橢圓的右焦點(diǎn)與上頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出、的值，再求出的值即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理得出與，再根據(jù)及，從而可表示出，化簡即可得證；（3））當(dāng)時，易得與相交于點(diǎn)，可猜想： 變化時， 與相交于點(diǎn)，再證明猜想成立即可.

試題解析：（1）∵過橢圓的右焦點(diǎn)，

∴右焦點(diǎn)，即，

又∵的焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，

∴，即，

∴橢圓的方程；

（2）由得， ，

設(shè)，則，

∵，

∴，

∴，

∴，

綜上所述，當(dāng)變化時， 的值為定值；

（3）當(dāng)時，直線軸，則為矩形，易知與是相交于點(diǎn)，猜想與相交于點(diǎn)，證明如下：

∵，

∵，

∴，即三點(diǎn)共線.

同理可得三點(diǎn)共線，

則猜想成立，即當(dāng)變化時， 與相交于定點(diǎn).