Question

21.

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(－l，0)和B(1，0)的距離分別為d₁和d₂，∠APB＝2θ，且存在常數(shù)λ(0＜λ＜1)，使得d₁d₂ sin²θ＝λ.

（1）證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩點(diǎn)，試確定λ的范圍，使·＝0，其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).

Answer 1

解法一：（1）在△PAB中，,則，

4=(d₁-d₂)²+4d₁d₂sin²,即(常數(shù))，

點(diǎn)P的軌跡C是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，方程為：.

(2)設(shè)M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)

①當(dāng)MN垂直于x軸時(shí)，MN的方程為x=1,M(1,1),N(1,-1)在雙曲線上，

即，因?yàn)?IMG align="middle" height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/65/189806716510016865/8.gif" width=61 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1154">,所以.

②當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)MN的方程為y=k(x-1).

由得，

由題意知：，所以，，

于是，

因?yàn)?IMG align="middle" height=30 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/65/189806716510016865/16.gif" width=112 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1162">,且M,N在雙曲線右支上 所以

，

由①②知。

解法二：（1）同解法一

（2）設(shè)M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),MN的中點(diǎn)為E(x₀,y₀).

①當(dāng)x₁=x₂=1時(shí)，,因?yàn)?IMG align="middle" height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/65/189806716510016865/20.gif" width=61 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1166">所以;

②當(dāng)時(shí)，.

又.所以;

由得,由第二定義得

=，

所以.

于是由得

因?yàn)?I >x₀＞1,所以，又

解得：.由①②知.