Question

設(shè)動點P到點A（-1，0）和B（1，0）的距離分別為d₁和d₂，∠APB=2θ，且存在常數(shù)λ（0＜λ＜1），使得d₁d₂sin²θ=λ．
（1）證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
（2）過點B作直線雙曲線C的右支于M，N兩點，試確定λ的范圍，使

OM

•

ON

=0，其中點O為坐標原點．

Answer 1

分析：（1）首先利用余弦定理寫出d₁和d₂的等量關(guān)系式，然后把它變形為（d₁-d₂）²=*的形式，即|d₁-d₂|=*的形式，此時滿足雙曲線的定義，則問題得證，最后由雙曲線的標準方程形式即可寫出其方程．
（2）首先根據(jù)直線MN是否垂直于x軸進行討論，若直線MN垂直于x軸，則直線方程為x=1，又

OM

•

ON

=0可得M、N的坐標，代入雙曲線方程即得λ的值；若直線MN不垂直于x軸，則設(shè)其點斜式方程，并與雙曲線方程聯(lián)立方程組，可消y得x的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系用k與λ的代數(shù)式表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而由

OM

•

ON

=0及x₁+x₂＞0，x₁x₂＞0通過整理消去k得到λ的不等式，此時解不等式即可，最后把兩種情況綜合之．

解答：（1）證明：在△PAB中，|AB|=2，即2²=d₁²+d₂²-2d₁d₂cos2θ，4=（d₁-d₂）²+4d₁d₂sin²θ，
即|d1-d2|=

4-4d1d2sin2θ

=2

1-λ

＜2（常數(shù)），
所以點P的軌跡C是以A，B為焦點，實軸長2a=2

1-λ

的雙曲線．
又b²=1-（1-λ），所以C的方程為：

x2

1-λ

-

y2

λ

=1．

（2）解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
①當MN垂直于x軸時，MN的方程為x=1，M（1，1），N（1，-1）在雙曲線上．
即

1

1-λ

-

1

λ

=1?λ2+λ-1=0?λ=

-1± 5

2

，因為0＜λ＜1，所以λ=

5 -1

2

．
②當MN不垂直于x軸時，設(shè)MN的方程為y=k（x-1）．
由

x2 1-λ - y2 λ =1 y=k(x-1)

得：[λ-（1-λ）k²]x²+2（1-λ）k²x-（1-λ）（k²+λ）=0，
由題意知：[λ-（1-λ）k²]≠0，
所以x1+x2=

-2k2(1-λ)

λ-(1-λ)k2

，x1x2=

-(1-λ)(k2+λ)

λ-(1-λ)k2

．
于是：y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=

k2λ2

λ-(1-λ)k2

．
因為

OM

•

ON

=0，且M，N在雙曲線右支上，所以

x1x2+y1y2=0 x1+x2＞0 x1x2＞0

?

k2= λ(1-λ) λ2+λ-1 k2＞ λ 1-λ

?

λ(1-λ) λ2+λ-1 ＞ λ 1-λ λ2+λ-1＞0

?

5 -1

2

＜λ＜

2

3

．
由①②知，λ的取值范圍是：

5 -1

2

≤λ＜

2

3

．

點評：本題考查雙曲線的定義、標準方程及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，綜合性強，字母運算量大，且需分類討論．