設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,0)和B(1,0)的距離分別為d1和d2,∠APB=2θ,且存在常數(shù)λ(0<λ<1),使得d1d2sin2θ=λ.
(1)證明:動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線,并求出C的方程;
(2)過點(diǎn)B作直線雙曲線C的右支于M,N兩點(diǎn),試確定λ的范圍,使,其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).

【答案】分析:(1)首先利用余弦定理寫出d1和d2的等量關(guān)系式,然后把它變形為(d1-d22=*的形式,即|d1-d2|=*的形式,此時(shí)滿足雙曲線的定義,則問題得證,最后由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式即可寫出其方程.
(2)首先根據(jù)直線MN是否垂直于x軸進(jìn)行討論,若直線MN垂直于x軸,則直線方程為x=1,又=0可得M、N的坐標(biāo),代入雙曲線方程即得λ的值;若直線MN不垂直于x軸,則設(shè)其點(diǎn)斜式方程,并與雙曲線方程聯(lián)立方程組,可消y得x的一元二次方程,再由根與系數(shù)的關(guān)系用k與λ的代數(shù)式表示出x1+x2和x1x2,進(jìn)而由=0及x1+x2>0,x1x2>0通過整理消去k得到λ的不等式,此時(shí)解不等式即可,最后把兩種情況綜合之.
解答:(1)證明:在△PAB中,|AB|=2,即22=d12+d22-2d1d2cos2θ,4=(d1-d22+4d1d2sin2θ,
(常數(shù)),
所以點(diǎn)P的軌跡C是以A,B為焦點(diǎn),實(shí)軸長的雙曲線.
又b2=1-(1-λ),所以C的方程為:

(2)解:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2
①當(dāng)MN垂直于x軸時(shí),MN的方程為x=1,M(1,1),N(1,-1)在雙曲線上.
,因?yàn)?<λ<1,所以
②當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí),設(shè)MN的方程為y=k(x-1).
得:[λ-(1-λ)k2]x2+2(1-λ)k2x-(1-λ)(k2+λ)=0,
由題意知:[λ-(1-λ)k2]≠0,
所以,
于是:
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214029161187005/SYS201310232140291611870020_DA/11.png">,且M,N在雙曲線右支上,所以
由①②知,λ的取值范圍是:
點(diǎn)評:本題考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,綜合性強(qiáng),字母運(yùn)算量大,且需分類討論.
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(2)過點(diǎn)B作直線雙曲線C的右支于M,N兩點(diǎn),試確定λ的范圍,使
OM
ON
=0
,其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).

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[  ]

A.

B.橢圓

C.雙曲線

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