Question

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1，0)和B(1，0)的距離分別為d₁和d₂，∠APB=2θ，且存在常數(shù)λ(0＜λ＜1)，使得d₁d₂sin²θ=λ，
（1）證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
（2）過點(diǎn)B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩點(diǎn)，試確定λ的范圍，使=0，其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）在△PAB中，|AB|=2，即，
，
即（常數(shù)），
點(diǎn)P的軌跡C是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，
方程為：．
（2）設(shè)，
①當(dāng)MN垂直于x軸時(shí)，MN的方程為x=1，
M（1，1），N（1，-1）在雙曲線上，
即，
因?yàn)?＜λ＜1，所以；
②當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)MN的方程為y=k（x-1），
由得：，
由題意知：，
所以，
于是：，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111118/201111181304354841017.gif">，且M，N在雙曲線右支上，
所以，
由①②知，。