Question

（本小題滿分12分）

設動點P到點A(－l，0)和B(1，0)的距離分別為d₁和d₂，

∠APB＝2θ,且存在常數(shù)λ(0＜λ＜1＝,使得d₁d₂ sin²θ＝λ．

   （1）證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；

   （2）過點B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩

點,試確定λ的范圍,使·＝0,其中點

O為坐標原點．

                          

 

Answer 1

【答案】

（1）動點P的軌跡C為雙曲線，方程為：

（2）．由①②知

【解析】解法一：（1）在中，，即，

，即（常數(shù)），

點的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線．

方程為：．

（2）設，

①當垂直于軸時，的方程為，，在雙曲線上．

即，因為，所以．

②當不垂直于軸時，設的方程為．

由得：，

由題意知：，

所以，．

于是：．

因為，且在雙曲線右支上，所以

．

由①②知，．

解法二：（1）同解法一

（2）設，，的中點為．

①當時，，

因為，所以；

②當時，．

又．所以；

由得，由第二定義得

．

所以．

于是由得

因為，所以，又，

解得：．由①②知．