Question

【題目】已知圓經(jīng)過點(diǎn)，,且它的圓心在直線上.

（Ⅰ）求圓的方程;

（Ⅱ）求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程。

（Ⅲ）若點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，且點(diǎn),求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先設(shè)出方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得到關(guān)于參數(shù)的方程組，通過解方程組得到參數(shù)值，從而確定其方程；（Ⅱ）求出N（2，4）關(guān)于x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為（1，5），即可得到圓N關(guān)于直線x-y+3=0對(duì)稱的圓的方程；（Ⅲ）首先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)得到點(diǎn)D坐標(biāo)，代入圓的方程整理化簡(jiǎn)得到的中點(diǎn)M的軌跡方程

試題解析：：（Ⅰ）由已知可設(shè)圓心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，

從而有，解得：a=2．

于是圓N的圓心N（2，4），半徑．

所以，圓N的方程為．（5分）

（Ⅱ）N（2，4）關(guān)于x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為（1，5），

所以圓N關(guān)于直線x-y+3=0對(duì)稱的圓的方程為（9分）

（Ⅲ）設(shè)M（x，y），D，則由C（3，0）及M為線段CD的中點(diǎn)得：，解得又點(diǎn)D在圓N：上，所以有，

化簡(jiǎn)得：．

故所求的軌跡方程為．（13分）