Question

【題目】過點(diǎn)(0,4)，斜率為－1的直線與拋物線y2＝2px(p＞0)交于兩點(diǎn)A，B，如果OA⊥OB(O為原點(diǎn))，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)

【解析】

根據(jù)題設(shè)條件求出直線的點(diǎn)斜式方程，再聯(lián)立直線與拋物線方程，求出關(guān)于的一元二次方程，表示出韋達(dá)定理，再根據(jù)OA⊥OB，可先設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可得x1x2＋y1y2＝0，結(jié)合所求韋達(dá)定理，整體代換，即可求解參數(shù)p，進(jìn)而求得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程

直線方程為y＝－x＋4.

由消去y得x2－2(p＋4)x＋16＝0.

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2(p＋4)，x1x2＝16，Δ＝4(p＋4)2－64＞0.

所以y1y2＝(－x1＋4)(－x2＋4)＝－8p.

由已知OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0，從而16－8p＝0，解得p＝2.

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．