Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，試判斷與的大小關(guān)系并證明.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2），詳見解析

【解析】

（1）由已知令，得，記，則函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與y＝2a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)得到在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，對(duì)a分情況討論，即可得到函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)情況；
（2）由已知令，可得，記，利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，可得，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)即時(shí)有2個(gè)極值點(diǎn)，從而得到，所以，即．

解：（1），

令，得，記，則，

令，得；令，得，

∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，

∴當(dāng)即時(shí)，無(wú)解，∴無(wú)極值點(diǎn)，

當(dāng)即時(shí)，有一解，，即，

恒成立，無(wú)極值點(diǎn)，

當(dāng)，即時(shí)，有兩解，有2個(gè)極值點(diǎn)，

當(dāng)即時(shí)，有一解，有一個(gè)極值點(diǎn).

綜上所述：當(dāng)，無(wú)極值點(diǎn)；時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)，有1個(gè)極值點(diǎn)；

（2），,

令，則，,

記，則,

由得，由，得，

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù),

，當(dāng)時(shí)，,

∴當(dāng)即時(shí),

有2個(gè)極值點(diǎn),

由,

得,

,

不妨設(shè)則，,

又在上是減函數(shù),

,

,

.