Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)的極坐標(biāo)，直線經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為.

（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程；

（2）直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線與曲線交于兩點(diǎn)，求證:.

Answer 1

【答案】（1），（t為參數(shù)）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用消參得到曲線的直角坐標(biāo)方程，求點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再直接寫成直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程；（2）首先將直線的參數(shù)方程和曲線聯(lián)立，利用參數(shù)的幾何意義可知,同理可得，利用根與系數(shù)的關(guān)系證明.

（1）由（為參數(shù)）消去參數(shù)得

由得點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

∴直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為（t為參數(shù)）

（2）將直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程（t為參數(shù)）代入得

化簡(jiǎn)得

設(shè)方程兩根為，則

由直線參數(shù)方程中的幾何意義得

同理將的參數(shù)方程代入的參數(shù)方程可得