【題目】在如圖的平面多邊形ACBEF中,四邊形ABEF是矩形,點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),△ABC中,AC=BC,現(xiàn)沿著AB將△ABC折起,直至平面ABEF⊥平面ABC,如圖,此時(shí)OE⊥FC.
(1)求證:OF⊥EC;
(2)若FC與平面ABC所成角為30°,求二面角F﹣CE﹣B的余弦值.
【答案】
(1)證明:連結(jié)OC,∵AC=BC,O是AB的中點(diǎn),故OC⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面ABEF,
故OC⊥平面ABE,
于是OC⊥OF.OC⊥OE,
又OE⊥FC,
∵OF⊥平面OFC,
∴OE⊥OF,
又∵OC⊥OF,∴OF⊥平面OEC,
∴OF⊥EC.
(2)由(I)得AB=2AF.不妨設(shè)AF=1,AB=2.
∵∠FCA為直線FC與平面ABC所成的角,
∴∠FCA=30°,
∴FC=EC=2,△EFC為等邊三角形.
設(shè)FO∩EB=P,則O,B分別為PF,PE的中點(diǎn),△PEC也是等邊三角形.
取EC的中點(diǎn)M,連結(jié)FM,MP,則FM⊥CE,MP⊥CE,
∴∠FMP為二面角F﹣CE﹣B的平面角.
在△MFP中,F(xiàn)M=MP= ,F(xiàn)P=2 ,
故cos∠FMP= = =- ,
即二面角F﹣CE﹣B的余弦值為﹣
【解析】(Ⅰ)連結(jié)OC,則OC⊥AB,從而得到OC⊥OE,進(jìn)而得到OF⊥OE,由此能證明OF⊥EC. (Ⅱ)由(I)得AB=2AF.設(shè)AF=1,AB=2.由∠FCA為直線FC與平面ABC所成的角,知∠FCA=30°,由已知條件推導(dǎo)出∠FMP為二面角F﹣CE﹣B的平面角,由此能求出二面角F﹣CE﹣B的余弦值
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=3x2﹣2x,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 點(diǎn)(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= ,Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求使得Tn< 對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某旅游公司為甲,乙兩個(gè)旅游團(tuán)提供四條不同的旅游線路,每個(gè)旅游團(tuán)可任選其中一條旅游線路.
(1)求甲、乙兩個(gè)旅游團(tuán)所選旅游線路不同的概率;
(2)某天上午9時(shí)至10時(shí),甲,乙兩個(gè)旅游團(tuán)都到同一個(gè)著名景點(diǎn)游覽,20分鐘后游覽結(jié)束即離去.求兩個(gè)旅游團(tuán)在該著名景點(diǎn)相遇的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圓心在直線x+y﹣1=0上,且圓心在第二象限,半徑長(zhǎng)為 ,求圓的一般方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x﹣2)=﹣f(x),且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x2+x+sinx,若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間[﹣4,4]上有四個(gè)不同的根x1 , x2 , x3 , x4 , 則x1+x2+x3+x4的值為( )
A.2
B.﹣2
C.4
D.﹣4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上的一點(diǎn)A(2,4).
(Ⅰ)是否存在直線l:y=kx+3與圓M有兩個(gè)交點(diǎn)B,C,并且|AB|=|AC|,若有,求此直線方程,若沒有,請(qǐng)說明理由;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q,使得 = ,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2x﹣2
(Ⅰ)用定義法證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣∞,1]上是減函數(shù);
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣mx是偶函數(shù),求m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,且滿足asinB= bcosA.
(1)求A的大。
(2)若a=7,b=5,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體ABCDE中,DB⊥平面ABC,AE∥DB,且△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,AE=1,CD與平面ABDE所成角的正弦值為 .
(1)若F是線段CD的中點(diǎn),證明:EF⊥面DBC;
(2)求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值.
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