Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2x﹣2
（Ⅰ）用定義法證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，1]上是減函數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣mx是偶函數(shù)，求m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)﹣∞＜x1＜x2≤1，

所以，f（x1）﹣f（x2）=（ ﹣2x1﹣2）﹣（ ﹣2x2﹣2）=（x1﹣x2 ）（x1+x2﹣2），

因?yàn)椹仭蓿紉1＜x2，所以，x1﹣x2＜0，x1+x2﹣2＜0，

所以，f（x1）﹣f（x2）＞0，

所以，f（x1）＞f（x2），

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，1]上是減函數(shù)．

（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（2+m）x﹣2，

又因?yàn)間（x）是偶函數(shù)，2+m=0，

∴m=﹣2．

【解析】（1）根據(jù)定義法進(jìn)行設(shè)值作差變形整理可得，（2）當(dāng)g（x）為偶函數(shù)時(shí)，其二次函數(shù)的對(duì)稱軸為y軸，即2+m=0，即可解得m=-2.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)在上遞減，當(dāng)時(shí)，．