【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上的一點(diǎn)A（2，4）．
（Ⅰ）是否存在直線l：y=kx+3與圓M有兩個(gè)交點(diǎn)B，C，并且|AB|=|AC|，若有，求此直線方程，若沒有，請說明理由；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得 = ，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

【答案】解：（Ⅰ）圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0化為（x﹣6）2+（y﹣7）2=25，圓心為M（6，7），半徑為5

假設(shè)存在直線l：y=kx+3與圓M有兩個(gè)交點(diǎn)B，C，并且|AB|=|AC|，

則AM⊥BC，∵kAM= ，即直線l的斜率為﹣

則直線l：y=﹣ x+3，即4x+3y﹣9=0

圓心M（6，7）到4x+3y﹣9=0的距離d=

即直線l與圓M無兩個(gè)交點(diǎn)，

∴不存在直線l：y=kx+3與圓M有兩個(gè)交點(diǎn)B，C，并且|AB|=|AC|；

（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），∵A（2，4），T（t，0），

由 = 得， ，由點(diǎn)Q在圓M上，所以（x2﹣6）2+（y2﹣7）2=25

即得（x1﹣t﹣4）2+（y1﹣3）2=25．

從而圓（x﹣6）2+（y﹣7）2=25與圓（x﹣t﹣4）2+（y﹣3）2=25上有公共點(diǎn)，

即5﹣5

解得2﹣2 ≤t≤2+2 ，

∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為[2﹣2 ，2+2 ]．


【解析】（1）假設(shè)存在直線l：y=kx+3，由題意|AB|=|AC|，則AM⊥BC，即直線l的斜率為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離即可判斷出不存在這樣的直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由向量關(guān)系表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)，由于點(diǎn)Q在圓上，可得（x1﹣t﹣4）2+（y1﹣3）2=25，若兩圓有公共點(diǎn)，則兩圓心間的距離小于半徑之和，大于半徑之差，即可得到實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA= ，ABEF為直角梯形，BE∥AF，∠BAF= ，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．

（1）求證：AC⊥平面ABEF；
（2）求平面ABCD與平面DEF所成二面角的正弦值．

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【題目】在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且（a+c）2=b2+3ac
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若b=2，且sinB+sin（C﹣A）=2sin2A，求△ABC的面積．

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【題目】已知直線2x+y﹣k=0（k＞0）與圓x2+y2=4交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有| | | |，那么k的取值范圍是（ ）
A.[ ，+∞）
B.[ ，2 ）
C.[ ，+∞）
D.[ ，2 ）

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【題目】在如圖的平面多邊形ACBEF中，四邊形ABEF是矩形，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，△ABC中，AC=BC，現(xiàn)沿著AB將△ABC折起，直至平面ABEF⊥平面ABC，如圖，此時(shí)OE⊥FC．
（1）求證：OF⊥EC；
（2）若FC與平面ABC所成角為30°，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．

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【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，Sn=2n﹣an（n∈N*）．
（1）計(jì)算a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通項(xiàng)公式an；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想．

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【題目】已知函數(shù)f（x）=ex ， g（x）=lnx
（1）若曲線h（x）=f（x）+ax2﹣ex（a∈R）在點(diǎn)（1，h（1））處的切線垂直于y軸，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù) 在區(qū)間（0，2）上無極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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【題目】一個(gè)不透明的袋子裝有4個(gè)完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字為0，1，2，2，現(xiàn)甲從中摸出一個(gè)球后便放回，乙再從中摸出一個(gè)球，若摸出的球上數(shù)字大即獲勝（若數(shù)字相同則為平局），則在甲獲勝的條件下，乙摸1號球的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.

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