Question

【題目】如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長為2的等邊三角形，AE=1，CD與平面ABDE所成角的正弦值為 ．

（1）若F是線段CD的中點(diǎn)，證明：EF⊥面DBC；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OD．

∵DB⊥平面ABC，DB面ABD，根據(jù)直線和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC．

取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OD．

∵△ABC是等邊三角形，∴OC⊥AB，

根據(jù)平面和平面垂直的性質(zhì)定理得則OC⊥面ABD，

∴OD是CD在平面ABDE上的射影，

∴∠CDO即是CD與平面ABDE所成角．

∴sin∠CDO= ，而OC= ，

∴CD=2 ，∴BD=2．

取ED的中點(diǎn)為M，以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OM為z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則A（0，﹣1，0）， ，

取BC的中點(diǎn)為G，則G（ ， ，0），則AG⊥面BCD，因?yàn)? ，

所以 ，所以EF⊥面DBC．

（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，

又 ，

取平面DEC的一個法向量

設(shè)平面BCE的一個法向量 ，則

又 ，

所以 ，令x=1，則y= ，z=2 ．

由此得平面BCE的一個法向量 ．

則 ，所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值為 ．

【解析】1、根據(jù)題意作出輔助線：取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OD．利用直線和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC，再由已知△ABC是等邊三角形，可得OC⊥AB，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得OC⊥面ABD，∠CDO即是CD與平面ABDE所成角，進(jìn)而求出CD=2 ，BD=2.建立如圖空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得證， E F ∥ A G 故EF⊥面DBC。
2、在建立如圖空間直角坐標(biāo)系內(nèi)取平面DEC的一個法向量 ，設(shè)平面BCE的一個法向量 ,根據(jù)向量的垂直關(guān)系，令x=1，則y= ，z=2 ，由此得平面BCE的一個法向量 = ( 1 ， ， 2 ) ，利用數(shù)量積的運(yùn)算公式求出c o s < ， >的值。
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定，掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想即可以解答此題．