Question

【題目】已知為單調(diào)遞增數(shù)列，為其前項(xiàng)和，

(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)若為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：（1）由得，所以,

整理得,所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，可得；（2）結(jié)合（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求得的前項(xiàng)和，利用放縮法可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時，,所以，即,

又為單調(diào)遞增數(shù)列，所以.

由得，所以,

整理得,所以.

所以，即,

所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以.

(Ⅱ)

所以

.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題. 裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯誤.