【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時, 恒成立,求的范圍;
(2)若在處的切線為,求的值.并證明當(dāng))時, .
【答案】(1)(2)見解析
【解析】【試題分析】(1)當(dāng)時,由于,故函數(shù)單調(diào)遞增,最小值為.(2)利用切點和斜率為建立方程組,解方程組求得的值.利用導(dǎo)數(shù)證得先證,進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證,從而證明原不等式成立.
【試題解析】
解:由,
當(dāng)時,得.
當(dāng)時, ,且當(dāng)時, ,此時.
所以,即在上單調(diào)遞増,
所以,
由恒成立,得,所以.
(2)由得
,且.
由題意得,所以.
又在切線上.
所以.所以.
所以.
先證,即,
令,
則,
所以在是增函數(shù).
所以,即.①
再證,即,
令,
則,
時, , 時, , 時, .
所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),
所以.
即,所以.②
由①②得,即在上成立.
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【題目】關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+)(x∈R),有下列命題:
①y=f(x)的表達(dá)式可改寫為y=4cos(2x﹣);
②y=f(x)是以2π為最小正周期的周期函數(shù);
③y=f(x)的圖象關(guān)于點對稱;
④y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=﹣對稱.
其中正確的命題的序號是 .
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【題目】已知半徑為的球的球面上有三個點,其中任意兩點間的球面距離都等于,且經(jīng)過這三個點的小圓周長為,則______.
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【題目】已知拋物線,焦點為,準(zhǔn)線為,線段的中點為.點是上在軸上方的一點,且點到的距離等于它到原點的距離.
(1)求點的坐標(biāo);
(2)過點作一條斜率為正數(shù)的直線與拋物線從左向右依次交于兩點,求證:.
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【題目】為了解人們對“2019年3月在北京召開的第十三屆全國人民代表大會第二次會議和政協(xié)第十三屆全國委員會第二次會議”的關(guān)注度,某部門從年齡在15歲到65歲的人群中隨機調(diào)查了100人,并得到如圖所示的年齡頻率分布直方圖,在這100人中關(guān)注度非常髙的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結(jié)果如右表所示:
年齡 | 關(guān)注度非常高的人數(shù) |
15 | |
5 | |
15 | |
23 | |
17 |
(Ⅰ)由頻率分布直方圖,估計這100人年齡的中位數(shù)和平均數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表,據(jù)此表,能否在犯錯誤的概率不超過的前提下,認(rèn)為以45歲為分界點的不同人群對“兩會”的關(guān)注度存在差異?
(Ⅲ)按照分層抽樣的方法從年齡在35歲以下的人中任選六人,再從六人中隨機選兩人,求兩人中恰有一人年齡在25歲以下的概率是多少.
45歲以下 | 45歲以上 | 總計 | |
非常髙 | |||
一般 | |||
總計 |
參考數(shù)據(jù):
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,已知橢圓 C:的離心率為,且過點 (,),點 P 在第四象限, A 為左頂點, B 為上頂點, PA 交 y 軸于點 C,PB 交 x 軸于點 D.
(1) 求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 求 △PCD 面積的最大值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓經(jīng)過點,離心率為.
(1)求的方程;
(2)過的左焦點且斜率不為的直線與相交于,兩點,線段的中點為,直線與直線相交于點,若為等腰直角三角形,求的方程.
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【題目】已知拋物線()的焦點為,以拋物線上一動點為圓心的圓經(jīng)過點F.若圓的面積最小值為.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)當(dāng)點的橫坐標(biāo)為1且位于第一象限時,過作拋物線的兩條弦,且滿足.若直線AB恰好與圓相切,求直線AB的方程.
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【題目】一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與一定范圍內(nèi)的溫度有關(guān),現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的組觀測數(shù)據(jù)如下表:
溫度 | ||||||
產(chǎn)卵數(shù)/個 |
經(jīng)計算得: , , , , ,線性回歸模型的殘差平方和, ,其中, 分別為觀測數(shù)據(jù)中的溫差和產(chǎn)卵數(shù), .
(1)若用線性回歸方程,求關(guān)于的回歸方程(精確到);
(2)若用非線性回歸模型求得關(guān)于回歸方程為,且相關(guān)指數(shù).
(i)試與(1)中的回歸模型相比,用說明哪種模型的擬合效果更好.
(ii)用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).
附:一組數(shù)據(jù), ,…, ,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計為, ;相關(guān)指數(shù)
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