Question

【題目】已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（3﹣m，4），且過點(diǎn)B（3+m，4），A在B的左側(cè)，頂點(diǎn)為P．

（1）求b的值；

（2）當(dāng)c＝4時(shí)，求sin∠APB；

（3）拋物線y＝x2+bx+c上是否存在點(diǎn)Q，使得四邊形OPQA是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b＝﹣6；（2）；（3）存在點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別是（5，7）或（1，﹣17），使得四邊形OPQA是平行四邊形

【解析】

（1）求出拋物線的對稱軸方程為x＝3，則b的值可求出；

（2）過點(diǎn)B作BM⊥AP于點(diǎn)M，求出點(diǎn)P，A，B的坐標(biāo)，求出AP長，根據(jù)三角形PAB的面積可求出BM長，則可求出sin∠APB；

（3）由題意得出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3﹣m，4），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4﹣m2），由平行四邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（3+3﹣m，4﹣m2+4），代入拋物線解析式可求出m的值，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)可求出．

解：（1）由拋物線的對稱性可知，對稱軸是直線x＝，

又∵對稱軸是直線x＝﹣，

∴b＝﹣6；

（2）當(dāng)c＝4時(shí)，由（1）得到拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣6x+4＝（x﹣3）2﹣5，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，﹣5）．

由x2﹣6x+4＝4得x1＝0，x2＝6，

∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，4），（6，4），

如圖，AB與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BM⊥AP于點(diǎn)M，

∴PN＝5+4＝9，AB＝6，＝3，

∵＝，

∴＝＝，

∴sin∠APB＝＝；

（3）存在點(diǎn)Q，使得四邊形OPQA是平行四邊形．理由是：

由（1）得拋物線為y＝x2﹣6x+c，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3﹣m，4），

求得c＝13﹣m2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4﹣m2），

∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣6x+c＝x2﹣6x+13﹣m2，

將線段OA平移，使點(diǎn)O與點(diǎn)P重合，得到線段PQ，

此時(shí)四邊形OPQA是平行四邊形．

由平移的性質(zhì)可得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（3+3﹣m，4﹣m2+4），

即Q（6﹣m，8﹣m2），

若點(diǎn)Q在拋物線上，

有8﹣m2＝（6﹣m）2﹣6（6﹣m）+13﹣m2．

解得m1＝1，m2＝5，

當(dāng)m1＝1時(shí)，點(diǎn)Q（5，7），

當(dāng)m2＝5時(shí)，點(diǎn)Q（1，﹣17）．

綜合以上可得，存在點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別是（5，7）或（1，﹣17），使得四邊形OPQA是平行四邊形．