Question

【題目】已知拋物線：(為常數(shù))的頂點為．

(1)求點的坐標(biāo)；(用含的式子表示)

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中，存在函數(shù)圖象，點在圖象上，點在拋物線上，對于任意的實數(shù)，都有點，關(guān)于點對稱．

①當(dāng)時，求圖象對應(yīng)函數(shù)的解析式；

②當(dāng)時，都有成立，結(jié)合圖象，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）頂點的坐標(biāo)為；（2）①，②所求的取值范圍為或．

【解析】

（1）把二次函數(shù)化為頂點式，即可得到答案；

（2）①根據(jù)題意，由軸對稱的性質(zhì)，有，然后整理得到，即可得到答案；

②根據(jù)題意，由兩個函數(shù)圖形的性質(zhì)，可分成3種情況進(jìn)行分析，畫出圖像，分別求出t的取值范圍即可．

（1）

∴頂點的坐標(biāo)為；

（2）①當(dāng)時，得的解析式為：，

點在上，∴

∵點與點關(guān)于點對稱，則點，到點的距離相等，此三點橫坐標(biāo)相同，有.

∴

整理，得，

由于為任意實數(shù)，令為自變量，為.

即可得的解析式為：；

②關(guān)于拋物線的性質(zhì)：

點在上，∴

由：，知

拋物線開口向上，對稱軸為，頂點，且圖象恒過點.

∴當(dāng)時，圖象的隨著的增大而增大.

當(dāng)時，取最大值；當(dāng)時，取最小值；

最大值比最小值大1.

關(guān)于圖象的性質(zhì)：

∵點與點關(guān)于點對稱，

有，

，

整理，得

所以，圖象的解析式為：.

配方，得

∴圖象為一拋物線，開口向下，對稱軸為，頂點，且圖象恒過點.

∴當(dāng)時，圖象的隨著的增大而增大.

當(dāng)時，取最大值；當(dāng)時，取最小值，即過；最大值比最小值大1.

情況1：當(dāng)，兩點重合，即兩個函數(shù)恰好都經(jīng)過，時，把代入得，解得，或.

分別對應(yīng)圖3，圖4兩種情形，由圖可知，當(dāng)，或時，與重合，即有，不合題意，舍去；

情況2：當(dāng)點在點下方，即時，大致圖象如圖1，當(dāng)時，大致圖象如圖2，都有點在點的上方，即成立，符合題意；

情況3：當(dāng)點在點上方，即時，大致圖象如圖5，圖6，當(dāng)時，存在在的下方，即存在，不符合題意，舍去；

綜上所述，所求的取值范圍為：或.