Question

【題目】在中，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角得，交于點(diǎn)，分別交、于、兩點(diǎn)．

在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

當(dāng)時(shí)，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；

在的情況下，求線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）．理由見(jiàn)解析；四邊形是菱形．理由見(jiàn)解析；．

【解析】

（1）根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠A=∠C，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABE=∠C1BF，AB=BC=A1B=BC1，然后利用“角邊角”證明△ABE和△C1BF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=BF，從而得解；

（2）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠ABC1=150°，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行求出AB∥C1D，AD∥BC1，證明四邊形BC1DA是平行四邊形，又因?yàn)猷忂呄嗟�，所以四邊�?/span>BC1DA是菱形；

（3）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AG=BG=2，然后解直角三角形求出AE的長(zhǎng)度，再利用DE=AD-AE計(jì)算即可得解．

（1）．理由如下：

∵，

∴，

∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

即；

四邊形是菱形．理由如下：

∵旋轉(zhuǎn)角，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

，

∴，，

∴四邊形是平行四邊形，

又∵，

∴四邊形是菱形；

過(guò)點(diǎn)作，

∵，

∴，

在中，，

由知，

∴．