Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q，交直線BD于點(diǎn)M．

（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）連接AC，將△AOC繞平面內(nèi)某點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1O1C1，點(diǎn)A、O、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A、O1、C1、若△A1O1C1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出“和諧點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-+x+2；（2）存在，Q（3，2）或Q（-1，0）；（3）兩個(gè)和諧點(diǎn)，A1的橫坐標(biāo)是1，.

【解析】

（1）把點(diǎn)A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解；

（2）分兩種情況分別討論，當(dāng)∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）（3）兩個(gè)和諧點(diǎn)；AO=1，OC=2，設(shè)A1（x，y），則C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），

①當(dāng)A1、C1在拋物線上時(shí)，A1的橫坐標(biāo)是1；

當(dāng)O1、C1在拋物線上時(shí)，A1的橫坐標(biāo)是2；

解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

將點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，

∴，

∴，

∴y=-+x+2；

（2）∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴D（0，-2）．

設(shè)直線BD的解析式為y=kx-2．

∵將（4，0）代入得：4k-2=0，

∴k=．

∴直線BD的解析式為y=x-2．

當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，△BQM是直角三角形，此時(shí)Q（-1，0）；

當(dāng)BQ⊥BD時(shí)，△BQM是直角三角形，

則直線BQ的直線解析式為y=-2x+8，

∴-2x+8=-+x+2，可求x=3或x=4（舍）

∴x=3；

∴Q（3，2）或Q（-1，0）；

（3）兩個(gè)和諧點(diǎn)；

AO=1，OC=2，

設(shè)A1（x，y），則C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），

①當(dāng)A1、C1在拋物線上時(shí)，

∴，

∴，

∴A1的橫坐標(biāo)是1；

當(dāng)O1、C1在拋物線上時(shí)，

，

∴，

∴A1的橫坐標(biāo)是；