【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,將一塊與△ABC全等的三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)C上,一直角邊與BC重疊.

(1)操作1:固定△ABC,將三角板沿C→B方向平移,使其直角頂點(diǎn)落在BC的中點(diǎn)M,如圖2所示,探究:三角板沿C→B方向平移的距離為;
(2)操作2:在(1)的情況下,將三角板BC的中點(diǎn)M順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度a(0°<a<90°),如圖3所示,探究:設(shè)三角形板兩直角邊分別與AB、AC交于點(diǎn)P、Q,觀察四邊形MPAQ形狀的變化,問:四邊形MPAQ的面積S是否改變,若不變,求其面積;若改變,試說明理由;

(3)在(2)的情形下,連PQ,則當(dāng)△MPQ的面積等于四邊形MPAQ的面積的一半時(shí),四邊形MPAQ的形狀為 , 此時(shí)BP=

【答案】
(1)
(2)

答:四邊形MPAQ的面積S不變.

解法1:連接AM,

∵AB=AC=2,∠A=90°,

∴SABC= ABAC= ×2×2=2

又由(1)知,點(diǎn)M是BC中點(diǎn)

∴∠CAM=∠BAM=∠B=45°,AM⊥BC,

∴AM=BM,∠BMP+∠PMA=90°

∴SABM= SABC=1

又∠AMQ+∠PMA=90°

∴∠AMQ=∠BMP

∴△AMQ≌△BMP

∴S四邊形MPAQ=SABM=1,

解法2:如圖3,作MD⊥AC于D,作ME⊥AB于E,

∵AB=AC=2,∠A=90°

∴∠B=∠C=45°,四邊形ADME是矩形,

SABC= ABAC= ×2×2=2

又∵點(diǎn)M是BC中點(diǎn)

∴Rt△CMD≌Rt△BME

∴四邊形ADME是正方形,易求S正方形ADME= SABC=1

∴MD=ME,∠DMQ+∠QME=90°,

又∠EMP+∠QME=90°

∴∠DMQ=∠EMP

∴△DMQ≌△EMP

∴S四邊形MPAQ=S正方形ADME=1,


(3)正方形;1
【解析】(1.)解:(1)BC= =2 ,
∴CM= BC= 故三角板沿C→B方向平移的距離為: ;
所以答案是: ;
(3.)設(shè)AQ=PB=x,AP=2﹣x,
SMPQ=S四邊形MAPQ﹣SAPQ=1﹣ AQAP=1﹣ x(2﹣x)= x2﹣x+1=
解得,x=1.
∴PB=1,
∴AQ=PB=AP=1,
∴點(diǎn)P是AB的中點(diǎn),
∵M(jìn)是BC中點(diǎn),
∴PM∥AQ,
∴∠MPA=90°,
∵∠PAQ=∠PMQ=90°,
∴四邊形MPAQ是矩形,
∵AQ=AP,
∴矩形MPAQ是正方形,
所以答案是:正方形,1.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形的面積的相關(guān)知識,掌握三角形的面積=1/2×底×高,以及對相似三角形的性質(zhì)的理解,了解對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.

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丙班數(shù)學(xué)成績頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表

分?jǐn)?shù)

50~60

60~70

70~80

80~90

90~100

人數(shù)

1

4

15

11

9

 根據(jù)上圖及統(tǒng)計(jì)表提供的信息,則80~90分這一組人數(shù)最多的班是________

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