Question

【題目】定義：若一個三角形一條邊上的高等于這條邊長的一半，則稱該三角形為“半高”三角形，這條高稱為“半高”．

（1）如圖1，中，，，點在上，于點，于點，連接，求證： 是“半高”三角形；

（2）如圖2，是“半高”三角形，且邊上的高是“半高”，點在上，交于點，于點，于點．

①請?zhí)骄?/span>，，之間的等量關系，并說明理由；

②若的面積等于16，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②取得最小值．

【解析】

（1）根據(jù)平行相似，證明 ，利用相似三角形對應邊的比等于對應高的比： ，由“半高”三角形的定義可結論；

（2）證明四邊形 是矩形，得 ，代入，可得結論；

（3）先根據(jù)△ABC的面積等于16，計算BC和AR的長，設MN＝x，則 ，根據(jù)勾股定理表示MQ，配方可得最小值

解：（1）證明：由題意可證得，

∴，

∴，

由題意可證得四邊形為矩形，∴，

∴，

∴是“半高”三角形．

（2）①．理由如下：

如圖，過作于，交于，

∵是“半高”三角形，且邊上的高是“半高”，

∴

∵，

∴，

∴，

∴，

由題意可證得四邊形是矩形，有，，

∴，

即．

②∵，故，

設，由①得，

∴，

∴當時，取得最小值．