Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長為的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)B在拋物線y=ax2+ax2上．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；拋物線的解析式為 ；

（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，求△DBC的面積；

（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P(點(diǎn)B除外)，使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0，2）；B（，1）； （2） （3）P（，）或（2，1）

【解析】

（1）過點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，先根據(jù)勾股定理求出OA的長，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出OF、BF的長即可求出B的坐標(biāo)；再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求出a的值，即可求出拋物線的解析式；

（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)直線BD與x軸交點(diǎn)為E，求出CE的長，再根據(jù)S△DBC=S△CEB+S△CED進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；則延長BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，由全等三角形的判定定理可得△MP1C≌△FBC，再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出點(diǎn)P1點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，由全等三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)P2的坐標(biāo)；點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)代入拋物線的解析式進(jìn)行檢驗(yàn)即可．

（1）∵C（-1，0），AC=，

∴OA==2，

∴A（0，2）；

過點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，垂足為F，

∵∠ACO+∠CAO=90，∠ACO+∠BCF=90，

∴∠CAO=∠BCF，

在ΔAOC和ΔCFB中，

，

∴ΔAOC≌ΔCFB，

∴CF=AO=2，BF=CO=1，

∴OF=3，

∴B(-3，1)；

把B(-3，1)代入y=ax2+ax2中，得：1=9a-3a-2，

解得：a=，

∴拋物線的解析式為y=x2+x2，

故答案為：A（0，2）；B（，1）；；

（2）由知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)D(，)，
設(shè)直線BD的關(guān)系式為y=kx+b，將點(diǎn)B、D的坐標(biāo)代入得：

，

解得：，

∴直線BD的解析式為，設(shè)直線BD與x軸交于點(diǎn)E，

則點(diǎn)E（，0），CE=，

∴S△DBC=S△CEB+S△CED==；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：
①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；
則延長BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，
過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCF，∠P1MC=∠BFC=90 °，
∴△MP1C≌△FBC．
∴CM=CF=2，P1M=BF=1，
∴P1(1，-1)；
②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；
則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，
過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，
∴NP2=OA=2，AN=OC=1，
∴P2(2，1)，
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P1(1，-1)與點(diǎn)P2(2，1)都在拋物線上．

綜上所述，滿足條件的P坐標(biāo)為（，）或（2，1）.