14.P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn),Q為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),且PA=CQ,連PQ交AC邊于D.
(1)證明:PD=DQ.
(2)如圖2,過(guò)P作PE⊥AC于E,若AB=6,求DE的長(zhǎng).

分析 (1)過(guò)點(diǎn)P作PF∥BC交AC于點(diǎn)F;證出△APF也是等邊三角形,得出∠APF=∠BCA=60°,AP=PF=AF=CQ,由AAS證明△PDF≌△QDC,得出對(duì)應(yīng)邊相等即可;
(2)過(guò)P作PF∥BC交AC于F.同(1)由AAS證明△PFD≌△QCD,得出對(duì)應(yīng)邊相等FD=CD,證出AE+CD=DE=$\frac{1}{2}$AC,即可得出結(jié)果.

解答 (1)證明:如圖1所示,點(diǎn)P作PF∥BC交AC于點(diǎn)F;
∵△ABC是等邊三角形,
∴△APF也是等邊三角形,
∴∠APF=∠BCA=60°,AP=PF=AF=CQ,
∴∠FDP=∠DCQ,∠FDP=∠CDQ,
在△PDF和△QDC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDF=∠QDC}&{\;}\\{∠DFP=∠QCD}&{\;}\\{PF=QC}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△PDF≌△QDC(AAS),
∴PD=DQ;
(2)解:如圖2所示,過(guò)P作PF∥BC交AC于F.
∵PF∥BC,△ABC是等邊三角形,
∴∠PFD=∠QCD,△APF是等邊三角形,
∴AP=PF=AF,
∵PE⊥AC,∴AE=EF,
∵AP=PF,AP=CQ,
∴PF=CQ.
在△PFD和△QCD中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDF=∠QDC}&{\;}\\{∠DFP=∠QCD}&{\;}\\{PF=QC}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△PFD≌△QCD(AAS),
∴FD=CD,
∵AE=EF,
∴EF+FD=AE+CD,
∴AE+CD=DE=$\frac{1}{2}$AC,
∵AC=6,
∴DE=3.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì);熟練掌握等邊三角形的性質(zhì),證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

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(注:1000株~1500株,表示大于或等于1000株,且小于或等于1500株;
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