Question

【題目】圓O的半徑為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，3），若在圓O上存在一點(diǎn)N, 以M、N為正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且正方形的邊均與兩條坐標(biāo)軸垂直，則m的最小值為_________

Answer 1

【答案】-5

【解析】

根據(jù)M、N為正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，分MN為邊或MN為對(duì)角線兩種情況討論：當(dāng) MN為邊時(shí)，根據(jù)點(diǎn)N在圓上可得m的取值范圍；當(dāng)MN為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，直線MN與x軸的夾角為45°，由點(diǎn)N在圓O上，所以該直線MN與圓O一定要有交點(diǎn)，由此可以求出m的范圍．

當(dāng)MN為正方形的邊時(shí)：

∵正方形各邊與坐標(biāo)軸垂直，

∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為m，

又∵點(diǎn)N在圓O上，圓O半徑為，

∴；

當(dāng)MN為正方形對(duì)角線時(shí)：

設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，

∵MN為正方形對(duì)角線，且正方形的邊與坐標(biāo)軸垂直，

∴直線MN與x軸的夾角為45°，

∴k=±1，

∵點(diǎn)N在O上，

∴直線MN與圓O必有交點(diǎn)，

當(dāng)k=1時(shí)，作圓O的切線AD和BC，且與直線MN平行，其中A、C為圓O的切點(diǎn)，直線AD與y軸交于點(diǎn)D，直線BC與y軸交于點(diǎn)B，連接OA，OC，

把M(m，3)代入y=x+b，得b=3m，

∴直線MN的解析式為：y=x+3m，

∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，

∴OD=OA=2，

∴D(0，2)，

同理可得：B(0，－2)，

∴令x=0代入y=x+3m，

∴y=3m，

∴2≤3m≤2，

∴1≤m≤5，

當(dāng)k=－1時(shí)，把M(m，3)代入y=－x+b，得b=3+m，

∴直線MN的解析式為：y=－x+3+m，

同理可得：2≤3+m≤2，

∴5≤m≤1；

綜上所述，m可以取的最小值為－5.