Question

14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx+$\frac{8}{5}$與經過原點O的拋物線y=ax²+bx+c交于點A（1，1）和點B（-4，m），與y軸交于點C
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）設過點C的另一條直線與拋物線從左至右依次相交于E、F兩點，若點E、F關于點C對稱，求直線l的函數表達式和點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，連接OA、OB、OE、AE，在坐標平面內是否存在這樣的點P，使得以B、O、P為頂點的△BOP與△OAE相似（其中，△BOP的頂點O與△OAE的頂點A是對應頂點）？若存在，請求出所有符合條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法可求直線AB：y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{8}{5}$，將點B（-4，m）代入y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{8}{5}$可得B（-4，4），再根據待定系數法可求拋物線；
（2）直線y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{8}{5}$，令x=0，可求C（0，$\frac{8}{5}$），設過點C的直線l解析式為y=k′x+$\frac{8}{5}$，聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=k′x+\frac{8}{5}}\\{y=\frac{2}{5}{x}^{2}+\frac{3}{5}x}\end{array}\right.$，消去y并整理得2x²+（3-5k′）x-8=0，根據點E、F關于點C對稱，得到點C是線段EF的中點，得到$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{5k′-3}{4}$=0，可求直線l：y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{8}{5}$，則2x²+（3-5×$\frac{3}{5}$）x-8=0，解得x=±2，進一步得到E（-2，$\frac{2}{5}$）；
（3）如圖所示，過點E作GH⊥AG于H，則AG=3，GH=1，EG=$\frac{3}{5}$，EH=$\frac{2}{5}$，OH=2，根據三角函數和三角形相似的判定和性質得到P點坐標，同理，點P關于直線OB：y=-x的對稱點p′也符合題意，從而求解．

解答 解：（1）將點A（1，1）代入直線y=kx+$\frac{8}{5}$得k+$\frac{8}{5}$=1，解得k=-$\frac{3}{5}$，
則直線AB：y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{8}{5}$，
將點B（-4，m）代入y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{8}{5}$得m=-$\frac{3}{5}$×（-4）+$\frac{8}{5}$，解得m=4，
則B（-4，4），
∵拋物線y=ax²+bx+c經過點A，O，B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{16a-4b+c=4}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{2}{5}$，b=$\frac{3}{5}$，c=0．
∴拋物線的函數表達式為y=$\frac{2}{5}$x²+$\frac{3}{5}$x；
（2）直線y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{8}{5}$，令x=0，解得y=$\frac{8}{5}$，
則C（0，$\frac{8}{5}$），
設過點C的直線l解析式為y=k′x+$\frac{8}{5}$，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=k′x+\frac{8}{5}}\\{y=\frac{2}{5}{x}^{2}+\frac{3}{5}x}\end{array}\right.$，
消去y并整理得2x²+（3-5k′）x-8=0，
令E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），則有x₁+x₂=$\frac{5k′-3}{2}$，
∵點E、F關于點C對稱，
∴點C是線段EF的中點，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{5k′-3}{4}$=0，解得k′=$\frac{3}{5}$，
∴直線l：y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{8}{5}$，
∴2x²+（3-5×$\frac{3}{5}$）x-8=0，
解得x=±2，
∵E在F的左側，
∴E（-2，$\frac{2}{5}$）；
（3）OA=$\sqrt{2}$，OB=4$\sqrt{2}$，OE=$\frac{2\sqrt{26}}{5}$，AE=$\frac{3\sqrt{26}}{5}$，
如圖所示，過點E作GH⊥AG于H，則AG=3，GH=1，EG=$\frac{3}{5}$，EH=$\frac{2}{5}$，OH=2，
∴tan∠EAG=$\frac{EG}{AG}$=$\frac{1}{5}$=$\frac{EH}{OH}$=tan∠EOH，
∴∠EAG=∠EOH，
又∵∠OAG=∠BOH，
∴∠OAE=∠BOE，
∴存在點P，使得△BOP∽△OAE（O與A是對應點），
則射線OE的解析式為：y=$\frac{1}{5}$x，
∴設P（m，$\frac{1}{5}$m）（m＜0），則OP=$\frac{\sqrt{26}}{5}$m，
∵△BOP∽△OAE（O與A是對應點），
∴$\frac{OP}{OB}$=$\frac{AE}{OA}$或$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OA}{AE}$，即-$\frac{\frac{\sqrt{26}}{5}m}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{26}}{5}}{\sqrt{2}}$或-$\frac{\frac{\sqrt{26}}{5}m}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{3\sqrt{26}}{5}}$，
解得m₁=-12，m₂=-$\frac{100}{39}$，
∴p₁（-12，$\frac{12}{5}$），p₂（-$\frac{100}{39}$，$\frac{20}{39}$），
同理，點p關于直線OB：y=-x的對稱點p′也符合題意，
∴p₃（-$\frac{12}{5}$，12），p₄（-$\frac{20}{39}$，$\frac{100}{39}$）．

點評 考查了二次函數綜合題，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法求直線的解析式，待定系數法求拋物線的解析式，對稱的性質，三角函數，三角形相似的判定和性質等知識點，注意數形結合和方程思想的應用．