【題目】已知,中,,是邊上一點,作,分別交邊,于點,.
(1)若(如圖1),求證:.
(2)若,過點作,交(或的延長線)于點.試猜想:線段,和之間的數量關系,并就情形(如圖2)說明理由.
(3)若點與重合(如圖3),,且.
①求的度數;
②設,,,試證明:.
【答案】(1)證明見解析;(2)猜想:,理由見解析;(3)①;②證明見解析.
【解析】(1)根據平行線的判定,得到,,證明.即可證明.
(2)過點作的平行線交的延長線于點,證明≌得到.
證明四邊形是平行四邊形,即可得到.
(3)①設,,根據三角形的內角和列出方程,求解即可.
②延長至,使,連結,證明 .根據相似三角形的性質得到
,即可證明.
【解答】(1)∵,,,
∴,,
∴,,,
∴.
∴.
(2)猜想:,理由如下:
過點作的平行線交的延長線于點,
則,
∵,
∴,
又,
∴≌∴.
∵,
∴,
∴四邊形是平行四邊形,
∴.
(3)①設,
∵,,
∴,
又,即,
∴,即.
②延長至,使,連結,
∵,.
∴ ,
∵,∴,
∴,
而,
∴.
∴,
∴.
∵,,,
∴,
∴.
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【題目】如圖①,某社會實踐活動小組實地測量兩岸互相平行的一段河的寬度,在河的南岸邊點A處,測得河的北岸邊點B在其北偏東45°方向,然后向西走60 m到達點C,測得點B在點C的北偏東60°方向,如圖②.
(1)求∠CBA的度數;
(2)求出這段河的寬(結果精確到1 m,參考數據:≈1.41,≈1.73).
① ②
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【題目】如圖,兩棵樹的高度分別為AB=6m,CD=8m,兩樹的根部間的距離AC=4m,小強正在距樹AB的20m的點P處從左向右前進,如果小強的眼睛與地面的距離為1.6m,當小強前進多少米時,就恰好不能看到CD的樹頂D?
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【題目】如圖,.
(1)如圖①,在平面直角坐標系中,以為頂點,為腰在第三象限作等腰,若,求點的坐標;
(2)如圖②,為軸負半軸上一個動點,以為頂點,為腰作等腰,過作軸于點,當點沿軸負半軸向下運動時,試問的值是否發(fā)生變化?若不變,求其值,若變化,請說明理由;
(3)如圖③,已知點坐標為,是軸負半軸上一點,以為直角邊作等腰,點在軸上,,設、,當點在軸的負半軸上沿負方向運動時,的和是否發(fā)生變化?若不變,求其值;若變化,請說明理由.
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【題目】如圖,已知點A,B,C,D,請按要求畫出圖形.
(1)畫直線AB和射線CB;
(2)連結AC,并在直線AB上用尺規(guī)作線段AE,使.(要求保留作圖痕跡)
(3)在直線AB上確定一點P,使的和最短,并寫出畫圖的依據.
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【題目】如圖,是一鋼架,且,為使鋼架更加牢固,需在其內部添加-一些鋼管、、,添加的鋼管都與相等,則最多能添加這樣的鋼管( )
A.根B.根C.根D.無數根
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【題目】如圖(a),將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起.
(1)若∠DCE=35°,∠ACB= ;若∠ACB=140°,則∠DCE= ;并猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關系,并說明理由;
(2)如圖(b),若是兩個同樣的三角尺60°銳角的頂點A重合在一起,則∠DAB與∠CAE的大小有何關系,請說明理由;
(3)已知∠AOB=α,∠COD=β(都是銳角),如圖(c),若把它們的頂點O重合在一起,請直接寫出∠AOD與∠BOC的大小相等的關系(用含有α,β的式子表示).
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【題目】如圖,已知二次函數的圖象經過點,與軸分別交于點,點.點是直線上方的拋物線上一動點.
(1)求二次函數的表達式;
(2)連接,,并把沿軸翻折,得到四邊形.若四邊形為菱形,請求出此時點的坐標;
(3)當點運動到什么位置時,四邊形的面積最大?求出此時點的坐標和四邊形的最大面積.
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