【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),與軸分別交于點(diǎn),點(diǎn).點(diǎn)是直線上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)連接,,并把沿軸翻折,得到四邊形.若四邊形為菱形,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形的面積最大?求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的最大面積.
【答案】(1)該二次函數(shù)的表達(dá)式為;(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,);(3)P點(diǎn)的坐標(biāo)為,四邊形ABPC的面積的最大值為.
【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分,可得P點(diǎn)的縱坐標(biāo),根據(jù)函數(shù)值與自變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得答案;
(3)根據(jù)面積的和差,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得m的值,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得P點(diǎn)坐標(biāo).
【解答】(1)將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入,
得 ,解得,.
∴ 該二次函數(shù)的表達(dá)式為.
(2)若四邊形POP′C是菱形,則點(diǎn)P在線段CO的垂直平分線上;
如圖,連接PP′,則PE⊥CO,垂足為E,
∵ C(0,3),
∴ E(0,),
∴ 點(diǎn)P的縱坐標(biāo)等于.
∴ ,
解得,(不合題意,舍去),
∴ 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).
(3)過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q,與OB交于點(diǎn)F,
設(shè)P(m,),設(shè)直線BC的表達(dá)式為,
則 , 解得 .
∴直線BC的表達(dá)式為 .
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,),
∴.
當(dāng),
解得,
∴ AO=1,AB=4,
∴ S四邊形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ
=
=
=.
當(dāng)時(shí),四邊形ABPC的面積最大.
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為,四邊形ABPC的面積的最大值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,中,,是邊上一點(diǎn),作,分別交邊,于點(diǎn),.
(1)若(如圖1),求證:.
(2)若,過(guò)點(diǎn)作,交(或的延長(zhǎng)線)于點(diǎn).試猜想:線段,和之間的數(shù)量關(guān)系,并就情形(如圖2)說(shuō)明理由.
(3)若點(diǎn)與重合(如圖3),,且.
①求的度數(shù);
②設(shè),,,試證明:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖①所示放置,直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)O處,AB=25.保持紙片AOB不動(dòng),將紙片COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)角度,如圖②所示.
(1)在圖②中,求證:AC=BD,且AC⊥BD;
(2)當(dāng)BD與CD在同一直線上(如圖③)時(shí),若AC=7,求CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)P是AB下方的半圓上不與點(diǎn)A,B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C為AP中點(diǎn),延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)D,連接AD,過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交PB的廷長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連CE交AB于點(diǎn)F,連接DF.
(1)求證:△DAC≌△ECP;
(2)填空:
①四邊形ACED是何種特殊的四邊形?
②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,線段DF、AP的數(shù)量關(guān)系是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知矩形ABCD中,E是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F,G,H分別是BC,BE,CE的中點(diǎn).
(1)求證:△BGF≌△FHC;
(2)設(shè)AD=a,當(dāng)四邊形EGFH是正方形時(shí),求矩形ABCD的面積.
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【題目】某班將買一些乒乓球和乒乓球拍,現(xiàn)了解情況如下:甲、乙兩家商店出售兩種同樣品牌的乒乓球和乒乓球拍.乒乓球拍每副定價(jià)30元,乒乓球每盒定價(jià)5元,經(jīng)洽談后,甲店每買一副球拍贈(zèng)一盒乒乓球,乙店全部按定價(jià)的9折優(yōu)惠.該班需球拍5副,乒乓球若干盒(不小于5盒).
問(wèn):(1)設(shè)購(gòu)買乒乓球x盒時(shí),在甲家購(gòu)買所需多少元?在乙家購(gòu)買所需多少元?(用含x的代數(shù)式表示,并化簡(jiǎn))
(2)當(dāng)購(gòu)買乒乓球多少盒時(shí),兩種優(yōu)惠辦法付款一樣?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,把△ABC沿對(duì)角線AC折疊,得到△AB'C,B'C與AD相交于點(diǎn)E,則AE的長(zhǎng)________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平行四邊形中,、是對(duì)角線上不同的兩點(diǎn),下列條件中,不能得到四邊形一定為平行四邊形的是( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中A點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,) ,AB⊥軸于點(diǎn)B, sin∠OAB =,反比例函數(shù)的圖象的一支經(jīng)過(guò)AO的中點(diǎn)C,且與AB交于點(diǎn)D.
(1)求反比例函數(shù)解析式;
(2)求四邊形OCDB的面積.
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