【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過,,對(duì)稱軸為直線

1)求該拋物線和直線的解析式;

2)點(diǎn)是直線上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,試用含的代數(shù)式表示的面積,并求出面積的最大值;

3)設(shè)P點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn),為拋物線上的點(diǎn),是否存在點(diǎn),使以點(diǎn)、、P、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,若存在,請(qǐng)直接寫出符合條件的所有點(diǎn)坐標(biāo),不存在說明理由.

【答案】1;(2,當(dāng)時(shí),有最大值為4;(3)存在,坐標(biāo)

【解析】

1)根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求得點(diǎn)B坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法分別求函數(shù)解析式即可;

2)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),過軸,交直線點(diǎn),則坐標(biāo)為,然后根據(jù)三角形面積公式求得,從而用二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最值;

3)利用平行四邊形的性質(zhì),分四邊形CPMB是平行四邊形時(shí),BN=PK=1;四邊形CMPB是平行四邊形時(shí),CN=BO-1=3;四邊形CPBM是平行四邊形時(shí),BN=OP=1三種情況確定M點(diǎn)橫坐標(biāo),從而代入二次函數(shù)解析式求M點(diǎn)坐標(biāo).

解:(1)∵,對(duì)稱軸為直線

設(shè)二次函數(shù)解析式為

C0,2)代入解析式,得,解得

∴拋物線解析式為:,

設(shè)直線BC的解析式為

B4,0)、C0,2)代入解析式,得

,解得

∴直線解析式為

2)過軸,交直線點(diǎn),

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),則坐標(biāo)為

a=-10

∴當(dāng)時(shí),有最大值為4

3)存在

設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為

如圖,過點(diǎn)MMNx軸,過點(diǎn)PPKy軸,

①當(dāng)四邊形CPMB是平行四邊形時(shí),BN=PK=1

a=5

∴此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(5-3

②當(dāng)四邊形CMPB是平行四邊形時(shí),CN=BO-1=3

a=-3

∴此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-7

③當(dāng)四邊形CPBM是平行四邊形時(shí),BN=OP=1

a=3

∴此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(32

綜上所述,坐標(biāo)為

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