Question

15．如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，與BC交于點D，點E是弧BD的中點，連接AE交BC于點F，∠ACB=2∠BAE．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若sinB=$\frac{2}{3}$，BD=5，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）連接AD，由圓周角定理得出∠1=∠2．證出∠C=∠BAD．由圓周角定理證出∠DAC+∠BAD=90°，得出∠BAC=90°，即可得出結(jié)論．
（2）過點F作FG⊥AB于點G．由三角函數(shù)得出$sinB=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，設(shè)AD=2m，則AB=3m，由勾股定理求出BD=$\sqrt{5}$m．求出m=$\sqrt{5}$．得出AD=$2\sqrt{5}$，AB=$3\sqrt{5}$．證出FG=FD．設(shè)BF=x，則FG=FD=5-x．由三角函數(shù)得出方程，解方程即可．

解答 （1）證明：連接AD，如圖1所示．
∵E是弧BD的中點，
∴$\widehat{BE}=\widehat{DE}$，
∴∠1=∠2．
∴∠BAD=2∠1．
∵∠ACB=2∠1，
∴∠C=∠BAD．
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠C=∠BAD，
∴∠DAC+∠BAD=90°．
∴∠BAC=90°．
即AB⊥AC．
又∵AC過半徑外端，
∴AC是⊙O的切線．
（2）解：過點F作FG⊥AB于點G．如圖2所示：
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，$sinB=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，
設(shè)AD=2m，則AB=3m，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$m．
∵BD=5，
∴m=$\sqrt{5}$．
∴AD=$2\sqrt{5}$，AB=$3\sqrt{5}$．
∵∠1=∠2，∠ADB=90°，
∴FG=FD．
設(shè)BF=x，則FG=FD=5-x．
在Rt△BGF中，∠BGF=90°，$sinB=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{5-x}{x}=\frac{2}{3}$．
解得：=3．
∴BF=3．

點評 本題考查了切線的判定、圓周角定理、勾股定理、三角函數(shù)等知識；熟練掌握切線的判定和圓周角定理，由三角函數(shù)得出方程是解決問題（2）的關(guān)鍵．