Question

3．如圖，拋物線與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，且x₁＜x₂，與y軸交于點(diǎn)C（0，-5），其中x₁，x₂是方程x²-4x-5=0的兩個(gè)根．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC，交AC于點(diǎn)N，連接CM，當(dāng)△CMN的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)D（4，k）在（1）中拋物線上，點(diǎn)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸是否存在點(diǎn)F，使以A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先解方程x²-4x-5=0得到A（-1，0），B（5，0），則可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-5）），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可；
（2）作NH⊥x軸于H，如圖1，設(shè)M（t，0），證明△AMN∽△ABC，利用相似比可表示出NH=$\frac{5}{6}$（x+1），則S_△CMN=S_△ACM-S_△AMN=-$\frac{5}{12}$x²+$\frac{5}{3}$x+$\frac{25}{12}$，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；
（3）先確定D（4，-5），如圖2，然后分類(lèi)討論：當(dāng)AF∥DE，由于E（0，-5），CD=4，易得此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）或（-5，0）；當(dāng)EF∥AD，AD=EF時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到點(diǎn)E和點(diǎn)D的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則計(jì)算出當(dāng)y=5時(shí)，x=2+$\sqrt{14}$或x=2-$\sqrt{14}$，得到E點(diǎn)坐標(biāo)為（2+$\sqrt{14}$，5）或（2-$\sqrt{14}$，5），然后利用點(diǎn)平移的規(guī)律和確定對(duì)應(yīng)F點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）解方程x²-4x-5=0得x₁=-1，x₂=5，則A（-1，0），B（5，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-5）），
把C（0，-5）代入得-5=a×1×（-5），解得a=1，
所以拋物線解析式為y=x²-4x-5；
（2）作NH⊥x軸于H，如圖1，
設(shè)M（t，0），
∵M(jìn)N∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴AM：AB=NH：CO，即（x+1）：6=NH：5，
∴NH=$\frac{5}{6}$（x+1），
∴S_△CMN=S_△ACM-S_△AMN=$\frac{1}{2}$（x+1）•5-$\frac{1}{2}$•（x+1）•$\frac{5}{6}$（x+1）
=-$\frac{5}{12}$x²+$\frac{5}{3}$x+$\frac{25}{12}$
=-$\frac{5}{12}$（x-2）²+$\frac{15}{4}$，
當(dāng)x=2時(shí)，△CMN的面積最大，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）；
（3）當(dāng)x=4時(shí)，y=x²-4x-5=5，則D（4，-5），如圖2，
當(dāng)AF∥DE，則E（0，-5），CD=4，所以AF=4，此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）或（-5，0）；
當(dāng)EF∥AD，AD=EF時(shí)，則點(diǎn)E和點(diǎn)D的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5，
當(dāng)y=5時(shí)，x²-4x-5=5，解得x₁=2+$\sqrt{14}$，x₂=2-$\sqrt{14}$，若E點(diǎn)坐標(biāo)為（2+$\sqrt{14}$，5），由于點(diǎn)A（-1，0）向右平移5個(gè)單位，向下平移5個(gè)單位得到D點(diǎn)，則E點(diǎn)向右平移5個(gè)單位，向下平移5個(gè)單位得到F點(diǎn)，此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為（7+$\sqrt{14}$，0）；若E點(diǎn)坐標(biāo)為（2-$\sqrt{14}$，5），同同樣方法得到此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為（7-$\sqrt{14}$，0）；
總上所述，滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，0），（3，0），（7-$\sqrt{14}$，0），（7+$\sqrt{14}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會(huì)利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)；能運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題．