Question

8．（1）若x，y為實數．且y=$\sqrt{1-4x}$+$\sqrt{4x-1}$+$\frac{1}{2}$，求$\sqrt{\frac{x}{y}+2+\frac{y}{x}}$-$\sqrt{\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}}$的值．
（2）化簡：$\frac{\sqrt}{\sqrt{a}-\sqrt}$+$\frac{\sqrt{a}}{a-b}$•$\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}+\sqrt}$÷（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）．

Answer 1

分析 （1）運用二次根式有意義的條件，即$\sqrt{1-4x}$，$\sqrt{4x-1}$必須同時根號下部分大于等于0，即1-4x≥0，且4x-1≥0，得出x的值，再代入y=$\sqrt{1-4x}$+$\sqrt{4x-1}$+$\frac{1}{2}$，求出y的值，從而得出代數式的值；
（2）把分子、分母分解因式，把除法化成乘法，約分化簡即可．

解答 解：（1）∵y=$\sqrt{1-4x}$+$\sqrt{4x-1}$+$\frac{1}{2}$，
∴1-4x≥0，且4x-1≥0，
∴x=$\frac{1}{4}$，
∴y=$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{\frac{x}{y}+2+\frac{y}{x}}$-$\sqrt{\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}+2+2}$-$\sqrt{\frac{1}{2}-2+2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$；

（2）$\frac{\sqrt}{\sqrt{a}-\sqrt}$+$\frac{\sqrt{a}}{a-b}$•$\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}+\sqrt}$÷（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）=$\frac{\sqrt}{\sqrt{a}-\sqrt}$+$\frac{\sqrt{a}}{（\sqrt{a}+\sqrt）（\sqrt{a}-\sqrt）}$•$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt）^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt}$•$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt}$=$\frac{\sqrt（\sqrt{a}+\sqrt）+\sqrt{a}}{（\sqrt{a}+\sqrt）（\sqrt{a}-\sqrt）}$=$\frac{\sqrt{ab}+b+\sqrt{a}}{a-b}$．

點評 此題主要考查了二次根式的化簡求值，二次根式有意義的條件，以及二次根式的混合運算，解決問題的關鍵是根據$\sqrt{1-4x}$，$\sqrt{4x-1}$同時有意義，即1-4x≥0，且4x-1≥0，從而得出x的值．