Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖1，直角三角板△MON中，OM=ON=，OQ=1，直線l過(guò)點(diǎn)N和點(diǎn)N，拋物線y=ax2+x+c過(guò)點(diǎn)Q和點(diǎn)N．

（1）求出該拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)P是拋物線y=ax2+x+c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

①初步嘗試

若點(diǎn)P在y軸右側(cè)的該拋物線上，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥y軸于點(diǎn)A，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使得以N、P、A為頂點(diǎn)的三角形與△ONQ相似．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②深入探究

若點(diǎn)P在第一象限的該拋物線上，如圖3，連結(jié)PQ，與直線MN交于點(diǎn)G，以QG為直徑的圓交QN于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)R，連結(jié)HR，求線段HR的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+（2）①（1，）、（3，0）、（5，﹣4）②

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線解析式；

（2）①分三種情況，情況一：點(diǎn)P在第一象限時(shí)，△APN∽△ONQ，情況二：點(diǎn)P恰好在x軸上，情況三：P在第四象限內(nèi)，進(jìn)行討論可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②連結(jié)CH和CR，得到HR最小時(shí)，只需要半徑最小，即直徑最小即可．用面積法求出QG=，進(jìn)一步得到HR最小值．

（1）由題意可知，Q（﹣1，0），N（0，），

∴c=，即y=ax2+x+，

將Q（﹣1，0）代入解析式得0=a﹣+，解得a=﹣，

∴拋物線解析式是y=﹣x2+x+；

（2）①分三種情況，如圖2，

情況一：點(diǎn)P在第一象限時(shí)，△APN∽△ONQ，

設(shè)AN=m，則AP=m，

則P的坐標(biāo)（m，m+），

而點(diǎn)P在拋物線上，代入可得m+=﹣（m）2++（m）+，

解得m=，

∴P1（1，）；

情況二：點(diǎn)P恰好在x軸上，P2（3，0），

情況三：P在第四象限內(nèi)，同情況一方法可解得

P3（5，﹣4），

②連結(jié)CH和CR，如圖3，

∵∠NQ0=60°，

∴∠HCR=120°，

∵CH=CR，

∴HR=CH，

∴HR最小時(shí)，只需要半徑最小，即直徑最小即可，

∴過(guò)Q作NM的垂線，垂直時(shí)，QG最小，

∴用面積法求出，QG=，

HR最小值=．