【題目】如圖1,等邊△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形,點G和點F在⊙O上且位于點A的兩側,連接BF、CG交于點E,且BF=CG.
(1)求證:∠BEC=120°;
(2)如圖2,取BC邊中點D,連接AE、DE,求證:AE=2DE;
(3)如圖3,在(2)的條件下,過點A作⊙O的切線交BF的延長線于點H,若AE=AH=4,請求出⊙O的半徑長.
【答案】
(1)證明:如圖1中,
∵BF=CG,
∴ =
∵△ABC是等邊三角形,
∴AC=BC,∠ACB=60°,
∴ = ,
∴ = ,
∴∠ACG=∠CBF,
∵∠GEB=∠FBC+∠ECB=∠ACE+∠ECB=60°,
∴∠BEC=180°﹣∠GEB=120°.
(2)證明:如圖2中,連接BG、AG、CF、AF、GF,GF與AE交于點M.
∵∠BEC=120°,
∴∠FEC=∠GEB=60°,
∵∠BGE=∠BAC=60°,∠EFC=∠BAC=60°,
∴△BGE,△EFC都是等邊三角形,
∵∠AFB=∠ACB=60°,
∴∠GEB=∠AFB=60°,
∴GE∥AF,同理BF∥AG,
∴四邊形AGEF是平行四邊形,
∴GM=MF,AM=ME,
∵∠GBF=∠BAC=60°,
∴ = ,
∵BD=CD,
∴MF=CD,
在△MFE和△DCE中,
,
∴△MFE≌△DCE,
∴ME=DE,
∴AE=2DE.
(3)解:如圖3中,在圖(2)的基礎上連接OC.
由(2)可知,△MFE≌△DCE,
∴∠FEM=∠CED,
∵AH=AE=4,
∴∠H=∠AEH,DE=2,
∴∠H=∠CED,
∵BG=GE=AF,
∴ = ,
∴∠ECD=∠ABH,
∴△AHB∽△DEC,
∴ = =2,設BE=x,EC=EF=y,BD=a,
∴BH=2EC,
∴FH=y﹣x,
∵∠HAF=∠ABH,∠H=∠H,
∴△HAF∽△HBA,
∴AH2=HFHB,
∴16=2y(y﹣x) ①
∵BD=CD,∴AD⊥BC,AD經(jīng)過點O,
∵AH是切線,
∴AH⊥AD,
∴AH∥BC,
∴∠H=∠CBE,
∴∠CED=∠CBE,∵∠ECD=∠ECB,
∴△ECD∽△BCE,
∴EC2=CDCB,
∴y2=a2a,
∴a= y,
∵ = ,
∴ = ,
∴x=2 代入①中解得y= + (負根已經(jīng)舍棄),
∴CD=a= ( + )=1+ ,
在Rt△COD中,∵∠OCD=30°,
∴cos30°= ,
∴OC=
【解析】(1)利用“同圓中,等弦所對的劣弧相等”,得出∠GEB=∠FBC+∠ECB=∠ACE+∠ECB=60°,可求出∠BEC度數(shù);(2)通過“連接BG、AG、CF、AF、GF,GF與AE交于點M“構造出四邊形AGEF,利用等弧所對的圓周角相等,可證出四邊形AGEF是平行四邊形,進而證得△MFE≌△DCE,ME=DE,AE=2DE;(3)可證出△AHB∽△DEC,△HAF∽△HBA,得出AH2=HFHB,求出y與a 的關系,再由AH是切線,證出△ECD∽△BCE,對應邊成比例,求出x,再利用30度角的余弦,得出OC與CD的關系,求出OC.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過A(3,0)、B(4,1)兩點,且與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖(1),設拋物線與x軸的另一個交點為D,在拋物線的對稱軸上找一點H,使△CDH的周長最小,求出H點的坐標并求出最小周長值.
(3)如圖(2),連接AC,E為線段AC上任意一點(不與A、C重合),經(jīng)過A、E、O三點的圓交直線AB于點F,當△OEF的面積取得最小值時,求面積的最小值及E點坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的袋子里,有5個除顏色外,其他都相同的小球,其中有3個是紅球,2個是綠球,每次拿一個球然后放回去,拿2次,則至少有一次取到綠球的概率是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】用-5、-2、1,三個數(shù)按照給出順序構造一組無限循環(huán)數(shù)據(jù)。
(1)求第2018個數(shù)是多少?
(2)求前50個數(shù)的和是多少?
(3)試用含(為正整數(shù))的式子表示出數(shù)“-2所在的位置數(shù);
(4)請你算出第個,第個,第個這三個數(shù)的和?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三位同學進行足球傳球訓練,球從一個人腳下隨機傳到另一個人腳下,且每位傳球人傳給其余兩人的機會是均等的,由甲開始傳球,共傳三次.
(1)求三次傳球后,球回到甲腳下的概率;
(2)三次傳球后,球回到甲腳下的概率大還是傳到乙腳下的概率大?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“星光隧道”是貫穿新牌坊商圈和照母山以北的高端居住區(qū)的重要紐帶,預計2017年底竣工通車,圖中線段AB表示該工程的部分隧道,無人勘測飛機從隧道一側的點A出發(fā),沿著坡度為1:2的路線AE飛行,飛行至分界點C的正上方點D時,測得隧道另一側點B的俯角為12°,繼續(xù)飛行到點E,測得點B的俯角為45°,此時點E離地面高度EF=700米,則隧道BC段的長度約為( )米.(參考數(shù)據(jù):tan12°≈0.2,cos12°≈0.98)
A.2100
B.1600
C.1500
D.1540
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點A,B,C,D在同一條直線上,點E,F分別在直線AD的兩側,且AE=DF,∠A=∠D,AB=DC.
(1)求證:四邊形BFCE是平行四邊形;
(2)若AD=10,DC=3,∠EBD=60°,則BE= 時,四邊形BFCE是菱形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知△ABC是等腰三角形,且∠A=40°,那么∠ACB的外角的度數(shù)是
A. 110° B. 140° C. 110°或140° D. 以上都不對
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