【題目】如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABCDEC重合放置,其中∠C=90°,B=E=30°.

(1)操作發(fā)現(xiàn)

如圖2,固定ABC,使DEC繞點C旋轉(zhuǎn),當(dāng)點D恰好落在AB邊上時,填空:

①線段DEAC位置關(guān)系是_________;

②設(shè)BDC的面積為S1,AEC的面積為S2,則S1S2的數(shù)量關(guān)系是____________.

(2)猜想論證

當(dāng)DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時,小明猜想(1)中S1S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立,并嘗試分別作出了BDCAECBC、CE邊上的高,請你證明小明的猜想.

(3)拓展探究

已知∠ABC=60°,點D是其角平分線上一點,BD=CD=4,DE//ABBC于點E(如圖4).若在射線BA上存在點F,使,請直接寫出相應(yīng)的BF的長.

【答案】(1)DEAC;S1=S2;(2)證明見解析;(3)BF的長為.

【解析】試題分析:(1根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD,然后求出△ACD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=60°,然后根據(jù)內(nèi)錯角相等,兩直線平行解答;

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD,再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB,然后求出AC=BD,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點CAB的距離等于點DAC的距離,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答;

2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用角角邊證明△ACN△DCM全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面積相等證明;

3)過點DDF1∥BE,求出四邊形BEDF1是菱形,根據(jù)菱形的對邊相等可得BE=DF1,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點F1為所求的點,過點DDF2⊥BD,求出∠F1DF2=60°,從而得到△DF1F2是等邊三角形,然后求出DF1=DF2,再求出∠CDF1=∠CDF2,利用邊角邊證明△CDF1△CDF2全等,根據(jù)全等三角形的面積相等可得點F2也是所求的點,然后在等腰△BDE中求出BE的長,即可得解.

解:(1①∵△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)點D恰好落在AB邊上,

∴AC=CD

∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°,

∴△ACD是等邊三角形,

∴∠ACD=60°,

∵∠CDE=∠BAC=60°,

∴∠ACD=∠CDE,

∴DE∥AC;

②∵∠B=30°∠C=90°,

∴CD=AC=AB

∴BD=AD=AC,

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),△ACD的邊AC、AD上的高相等,

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),

S1=S2;

故答案為:DE∥ACS1=S2;

2)如圖,∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)得到,

∴BC=CE,AC=CD,

∵∠ACN+∠BCN=90°∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°,

∴∠ACN=∠DCM,

△ACN△DCM中,

,

∴△ACN≌△DCMAAS),

∴AN=DM,

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),

S1=S2;

3)如圖,過點DDF1∥BE,易求四邊形BEDF1是菱形,

所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,

此時SDCF1=SBDE;

過點DDF2⊥BD,

∵∠ABC=60°,F1D∥BE,

∴∠F2F1D=∠ABC=60°,

∵BF1=DF1,∠F1BD=∠ABC=30°,∠F2DB=90°,

∴∠F1DF2=∠ABC=60°

∴△DF1F2是等邊三角形,

∴DF1=DF2

∵BD=CD,∠ABC=60°,點D是角平分線上一點,

∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°,

∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°

∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°,

∴∠CDF1=∠CDF2,

△CDF1△CDF2中,

∴△CDF1≌△CDF2SAS),

F2也是所求的點,

∵∠ABC=60°,點D是角平分線上一點,DE∥AB

∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°,

∵BD=4

∴BE=×4÷cos30°=2÷=,

∴BF1=,BF2=BF1+F1F2=+=

BF的長為

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過點C的直線MN∥AB,D為AB邊上一點,過點D作DE⊥BC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD、BE.

(1)求證:CE=AD;

(2)當(dāng)D在AB中點時,四邊形BECD是什么特殊四邊形?說明你的理由;

(3)若D為AB中點,則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時,四邊形BECD是正方形?請說明你的理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】小明家準(zhǔn)備用15 000元裝修房子,新房的使用面積包括居室、客廳、衛(wèi)生間和廚房共100 m2,衛(wèi)生間和廚房共10 m2,廚房和衛(wèi)生間裝修工料費為每平方米200元,為衛(wèi)生間和廚房配套衛(wèi)生潔具和廚房廚具還要用去400元,則居室和客廳的裝修工料費每平方米用多少元才能不超過預(yù)算?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】沿某一方向行駛的汽車經(jīng)過兩次拐彎后與開始行駛的方向正好相反,若汽車第一次是右拐40°,則第二次應(yīng)該是(

A.左拐40°B.左拐50°C.左拐140°D.右拐 140°

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知線段a,b,c,d成比例線段,其中a=3cmb=4cm,c=6cm,則d=_____cm

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】寫出一個比﹣1小的數(shù)是

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:△ABC是等腰三角形,動點P在斜邊AB所在的直線上,以PC為直角邊作等腰三角形PCQ,其中∠PCQ=90°,探究并解決下列問題:

(1)如圖①,若點P在線段AB上,且AC=1+,PA=,則:

①線段PB= ,PC=

②猜想:PA2,PB2,PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為 ;

(2)如圖②,若點P在AB的延長線上,在(1)中所猜想的結(jié)論仍然成立,請你利用圖②給出證明過程;

(3)若動點P滿足,求的值.(提示:請利用備用圖進(jìn)行探求)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若代數(shù)式6axb6與a5by是同類項,則x﹣y的值是( )
A.11
B.﹣11
C.1
D.﹣1

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,矩形ABCD的對角線相交于點O,DE∥AC,CE∥BD.
求證:四邊形OCED是菱形.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案